[论文解读] Computation with Unitaries and One Pure Qubit

Dan Shepherd|ArXiv.org|Aug 17, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用 16

一句话总结

本文引入並分析了複雜度類 DQC1，其定義為使用一個純態量子比特與高度混合態上的酉運算的量子計算。本文證明估計大型酉矩陣的跡是 DQC1 完全問題，建立封閉性性質，並透過相對化技術提供證據，顯示 DQC1 嚮往比 BQP 更弱但可能比 BPP 更強，支持關於其計算能力的猜想。

ABSTRACT

We define a semantic complexity class based on the model of quantum computing with just one pure qubit (as introduced by Knill and Laflamme) and discuss its computational power in terms of the problem of estimating the trace of a large unitary matrix. We show that this problem is complete for the complexity class, and derive some further fundamental features of the class. We conclude with a discussion of some associated open conjectures and new oracle separations between classes.

研究动机与目标

• 定義一個正式的複雜度類 DQC1，以捕捉僅含一個純態量子比特與高度混合態上酉運算之量子電路的計算能力。
• 透過識別一個典型完全問題——估計大型酉矩陣的跡——來研究 DQC1 的計算能力。
• 使用相對化技術探討 DQC1 與 P、BPP 和 BQP 等古典複雜度類之間的關係。
• 提供證據支持關於 DQC1 的限制及其可能以指數級速度解決古典難題的猜想。

提出的方法

• 使用密度矩陣定義 DQC1 模型，起始狀態為一個純態量子比特與其餘最大混合的量子比特，透過酉共軛演化。
• 將最終狀態表示為包含係數 β 的混合態，該係數編碼計算結果，並透過對第一個量子比特的測量來估計。
• 以酉矩陣的跡作為核心計算問題，證明估計 β 等價於估計 Tr(U)/2^w。
• 透過將古典 oracle 作為酉排列矩陣嵌入 DQC1 電路中，應用相對化技術來比較計算能力。
• 利用對 oracle 變體之間跡差異的歸納界，證明 BQ1P 無法區分某些 P 可區分的 oracle。
• 推導出跡估計誤差的定量界，顯示 BQ1P 無法在多項式時間內實現跡差異的指數級分離。

实验结果

研究问题

• RQ1 估計大型酉矩陣跡的問題是否為 DQC1 複雜度類的完全問題？
• RQ2 DQC1 是否能解決古典多項式時間演算法無法處理的問題，例如區分某些 oracle 對？
• RQ3 DQC1 是否具有嚴格多於 BPP 的計算能力，還是其包含於 BPP 內？
• RQ4 DQC1 與 BQP 之間的關係為何？相對化分離是否能支持此關係？
• RQ5 DQC1 電路的結構是否可用來證明其在某些歸約或封閉性質下的封閉性？

主要发现

• 估計大型酉矩陣跡的問題是 DQC1 複雜度類的完全問題。
• DQC1 電路可估計係數 β = Tr(UZ₁U†Z₁)/2^w，其對應於第一個量子比特測量結果為「0」的機率。
• DQC1 對某些類型的歸約是封閉的，顯示其結構上的穩健性。
• 透過相對化，本文證明存在一個 oracle O，使得 P^O 不包含於 BQ1P^O，顯示 DQC1 嚮往比 BQP 更弱。
• 對於隨機排列 oracle U，BQ1P 可透過跡估計區分 U 的性質，而古典 BPP 則需指數級多的查詢次數，暗示對幾乎所有此類 oracle，BQ1P^O 不包含於 BPP^O。
• 兩個相關酉字之間的跡差異在多項式字長內無法超過 O(poly(w))，從而阻止跡估計中出現指數級分離。