[论文解读] Computational Analysis of Control Systems Using Dynamic Optimization

Wei Kang, Liang Xu|ArXiv.org|Jun 1, 2009

Advanced Control Systems Optimization参考文献 24被引用 19

一句话总结

本文引入计算动态优化方法，以定量衡量线性和非线性控制系统中的可观测性、可 reach 性和鲁棒性。通过将估计和控制中的模糊性建模为优化问题，该方法实现了对强可观测性与弱可观测性、部分可观测性以及受约束可 reach 性的实用验证，关键结果表明在安全约束下状态可 reach 性的相对误差最高可达40%。

ABSTRACT

Several concepts on the measure of observability, reachability, and robustness are defined and illustrated for both linear and nonlinear control systems. Defined by using computational dynamic optimization, these concepts are applicable to a wide spectrum of problems. Some questions addressed include the observability based on user-information, the determination of strong observability vs. weak observability, partial observability of complex systems, the computation of $L^2$-gain for nonlinear control systems, and the measure of reachability in the presence of state constraints. Examples on dynamic systems defined by both ordinary and partial differential equations are shown.

研究动机与目标

• 开发适用于线性和非线性控制系统的可计算验证、定量可观测性、可 reach 性和鲁棒性度量。
• 通过引入用户知识（如控制输入的有界变化）和系统约束，弥补传统定义的局限性。
• 实现在复杂系统（包括部分可观测性和由PDE控制的系统）中可观测性和可 reach 性的实用评估。
• 利用动态优化计算 $L^2$-增益和控制成本，尤其在状态和控制约束下。
• 在实际问题（如热方程的边界控制和非线性原子力显微镜模型）上验证该方法。

提出的方法

• 通过‘估计中的模糊性’定义可观测性，即在输出误差界内，估计状态与真实状态之间的最小偏差，通过动态优化求解。
• 将控制中的模糊性建模为带约束的最优控制问题，以评估在状态和控制约束下的可 reach 性。
• 使用 $L^p$-范数作为系统度量，并应用伪谱方法（如勒让德-高斯-洛巴托）求解最优控制问题的数值解。
• 在优化框架中显式建模约束，如控制输入的有界变化、状态边界和终端条件。
• 应用动态优化计算非线性系统的 $L^2$-增益，采用精确方法和基于特征值的近似方法。
• 通过中心差分法对PDE（如热方程）进行离散化，将其转换为用于数值计算的ODE控制系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非线性系统中，如何定量区分强可观测性与弱可观测性？
• RQ2 用户知识（如控制输入的有界变化）在多大程度上可提升系统可观测性，超越传统定义的范围？
• RQ3 当仅可观测状态或参数的函数时，如何衡量大规模或网络化系统的部分可观测性？
• RQ4 对于具有有限维输入的非线性控制系统，确定 $L^2$-增益的计算方法是什么？
• RQ5 状态约束的存在如何影响控制系统的实际可 reach 性，以及如何对此进行量化？

主要发现

• 传统上被认为是可观测的系统，可能因估计中的高模糊性而实际不可观测，量化度量可有效区分强可观测性与弱可观测性。
• 引入非传感器信息（如控制输入的有界变化）可使原本在经典定义下不可观测的系统变为强可观测。
• 对于具有边界控制的热方程，当目标状态超过阈值（A > 0.4）时，系统在安全约束（w ≤ 2）下变得实际不可 reach，最近可达状态的相对误差高达40%。
• 通过动态优化成功计算了非线性原子力显微镜模型的 $L^2$-增益，证明了该方法在实际非线性系统中的适用性。
• 在状态约束下，控制模糊性显著增加，表明理论可控制性并不等同于实际可 reach 性。
• 采用勒让德-高斯-洛巴托节点的伪谱方法有效求解了动态优化问题，实现了可观测性和可 reach 性度量的精确计算。