[论文解读] Computational Approaches to Consecutive Pattern Avoidance in Permutations

Brian Nakamura|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 21

一句话总结

本文提出了两种计算算法，用于高效计数避免一组连续模式的排列，已在CAV Maple软件包中实现。第一个算法提供了一组模式强Wilf-等价性的充分条件，第二个算法引入了一种满足函数方程的簇尾生成函数，从而能够更快地计算避免计数及单个模式的渐近近似值。

ABSTRACT

In recent years, there has been increasing interest in consecutive pattern avoidance in permutations. In this paper, we introduce two approaches to counting permutations that avoid a set of prescribed patterns consecutively. These algoritms have been implemented in the accompanying Maple package CAV, which can be downloaded from the author's website. As a byproduct of the first algorithm, we have a theorem giving a sufficient condition for when two pattern sets are strongly (consecutively) Wilf-Equivalent. For the implementation of the second algorithm, we define the cluster tail generating function and show that it always satisfies a certain functional equation. We also explain how the CAV package can be used to approximate asymptotic constants for single pattern avoidance.

研究动机与目标

• 开发高效计算方法，用于计数避免一组连续模式的排列。
• 基于簇结构，提供一组模式强c-Wilf-等价性的充分条件。
• 引入并表征一种满足函数方程的簇尾生成函数，以实现更快的计算。
• 实现对单个模式避免的生长常数γ和ρ的精确渐近近似。
• 支持对Wilf-等价性和极值模式行为的实证探索与猜想生成。

提出的方法

• 第一个算法利用簇分解，推导出模式集之间强c-Wilf-等价性的充分条件。
• 第二个算法引入簇尾生成函数，其满足由重叠模式簇导出的函数方程。
• 通过构造性方法求解簇尾生成函数的函数方程，以高效计算指数生成函数。
• CAV Maple软件包实现了两种算法，支持通过比值分析快速计算α(n)和渐近近似值。
• 通过AsymApprox和AsymApproxRank过程，利用连续α(n)值的比值近似渐近常数γ和ρ。
• 理论结果得到大量模式枚举支持的实证计算和猜想生成的验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两组连续模式是强Wilf-等价的？
• RQ2 能否构建簇尾生成函数的函数方程，以加速避免排列的计算？
• RQ3 单个连续模式避免的渐近生长常数γ和ρ为何值，如何实现高效近似？
• RQ4 哪些模式或模式集在固定模式长度下产生最大或最小避免计数？
• RQ5 所有相同长度的模式是否要么完全强c-Wilf-等价，要么完全不c-Wilf-等价？

主要发现

• 第一个算法得出的强c-Wilf-等价性充分条件，经Khoroshkin和Shapiro独立验证。
• 簇尾生成函数始终满足特定函数方程，从而实现避免计数的高效计算。
• 对于长度为4的模式，最小避免计数出现在1342和1432，ρ ≈ 0.9546；最大避免计数出现在1234，ρ ≈ 0.9630。
• CAV软件包支持高精度渐近近似，例如对模式1243，ρ ≈ 0.9529，γ ≈ 1.1697。
• 实证证据支持猜想6：对于相同长度的模式，要么两个模式强c-Wilf-等价，要么完全不c-Wilf-等价，该结论基于长度至6的数据。
• 本文对长度为3、4和5的单个模式完成了c-Wilf-等价性的完整分类，对长度为6的模式近乎完整分类。