[论文解读] Computational aspects of multigrid methods for optimization in shape spaces

Martin Siebenborn, Kathrin Welker|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2016

3D Shape Modeling and Analysis被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于形状空间中拟牛顿更新的网格无关多重网格形状优化算法，重点关注均曲率等精确离散几何逼近。该方法在大规模问题上实现了可扩展的收敛性，其有效性在由弹性与扩散方程控制的生物细胞结构识别模型中得到验证。

ABSTRACT

We examine the interaction of multigrid methods and shape optimization in appropriate shape spaces. Our aim is a scalable algorithm for application on supercomputers, which can only be achieved by mesh-independent convergence. The impact of discrete approximations of geometrical quantities, like the mean curvature, on a multigrid shape optimization algorithm with quasi-Newton updates is investigated. For the purpose of illustration, we consider a complex model for the identification of cellular structures in biology with minimal compliance in terms of elasticity and diffusion equations.

研究动机与目标

• 开发一种适用于超算的可扩展、网格无关的多重网格形状优化算法。
• 研究离散几何逼近（尤其是均曲率）对收敛性和准确性的影响。
• 实现在复杂PDE约束问题中的形状空间内高效优化。
• 将该方法应用于涉及弹性中最小柔度及扩散方程的现实生物模型。

提出的方法

• 采用多重网格方法加速形状空间内形状优化的收敛速度。
• 使用拟牛顿更新以提高收敛速率并减少海塞矩阵近似误差。
• 通过自适应网格上的有限元逼近实现离散几何量（如均曲率）的计算。
• 将形状微分与多重网格循环相结合，以在不同尺度间保持一致性。
• 将该算法应用于由弹性与扩散方程控制的PDE约束优化问题。
• 通过在不同网格细化级别上保持收敛速率，确保网格无关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 像均曲率这样的几何量的离散逼近如何影响形状优化中多重网格的收敛性？
• RQ2 在引入拟牛顿更新的情况下，多重网格方法是否能在形状空间中实现网格无关的收敛？
• RQ3 该算法在超算上对大规模形状优化问题的可扩展性如何？
• RQ4 该方法在具有最小柔度约束的复杂生物模型中表现如何？
• RQ5 一致的几何离散化在保持算法鲁棒性方面起什么作用？

主要发现

• 该算法实现了网格无关的收敛性，从而在超算上具备可扩展性。
• 精确的离散均曲率逼近对于在多重网格形状优化中维持收敛速率至关重要。
• 与标准方法相比，拟牛顿更新显著改善了收敛行为。
• 该方法成功识别出在弹性与扩散约束下柔度最小的生物细胞结构。
• 离散几何一致性确保了算法的鲁棒性，并防止了在网格细化过程中的收敛性能退化。
• 该方法在复杂现实生物建模问题中展现出实际应用潜力。