[论文解读] Computational Aspects of the Hausdorff Distance in Unbounded Dimension

Stefan König|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文研究了在无界维度下多面体之间Hausdorff距离的计算复杂性，表明当两个多面体均以顶点形式表示时，该问题可在多项式时间内求解；但当至少一个以半空间形式表示时，该问题为NP-难和W[1]-难。此外，本文提出了一种针对同位似变换匹配问题的多项式时间(3√d + 1)-近似算法，即使在评估过程为W[1]-难的条件下依然有效，并基于类似John定理的最优性准则，建立了凸体的Helly型定理。

ABSTRACT

We study the computational complexity of determining the Hausdorff distance of two polytopes given in halfspace- or vertex-presentation in arbitrary dimension. Subsequently, a matching problem is investigated where a convex body is allowed to be homothetically transformed in order to minimize its Hausdorff distance to another one. For this problem, we characterize optimal solutions, deduce a Helly-type theorem and give polynomial time (approximation) algorithms for polytopes.

研究动机与目标

• 确定在任意维度下计算两个多面体之间Hausdorff距离的计算复杂性。
• 分析当多面体以半空间或顶点形式表示时，该问题的困难程度。
• 研究通过同位似变换最小化一个凸体与另一凸体之间Hausdorff距离的匹配问题。
• 为匹配问题推导多项式时间近似算法，尤其在评估过程困难的情况下。
• 基于类似John定理的最优性条件，建立凸体的Helly型定理。

提出的方法

• 根据多面体表示形式（顶点V或半空间H）对Hausdorff距离计算的复杂性进行分类。
• 使用二阶锥规划（SOCP）建模匹配问题，并在两个多面体均为V-表示时近似计算Hausdorff距离。
• 应用“参考点法”，通过轴对齐包围盒的直径替代H-多面体的直径，以实现多项式时间近似。
• 利用支撑函数以及单位球和对偶体的性质，推导性能保证。
• 运用Carathéodory定理，减少包含约束中所需的极值点数量。
• 通过利用基于John定理推导出的最优性条件，建立Helly型结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当两个多面体在无界维度下均以顶点形式表示时，其Hausdorff距离是否可在多项式时间内计算？
• RQ2 当至少一个多面体以半空间形式表示时，计算Hausdorff距离的计算复杂性是什么？
• RQ3 对于以顶点形式表示的多面体，通过同位似变换最小化Hausdorff距离的匹配问题是否可高效求解？
• RQ4 当评估问题因半空间表示而为W[1]-难时，是否存在该匹配问题的多项式时间近似算法？
• RQ5 最优同位似变换与凸几何之间是否存在结构性关系，例如Helly型定理？

主要发现

• 当两个多面体均以顶点形式表示时，对于任意范数，Hausdorff距离均可在多项式时间内计算。
• 若至少一个多面体以半空间形式表示，则计算Hausdorff距离为NP-难和W[1]-难。
• 对于两个顶点表示的多面体，其在同位似变换下的匹配问题可在任意维度下以多项式时间求解。
• 即使一个多面体以半空间形式表示，仍可在多项式时间内计算出最优Hausdorff距离的(3√d + 1)-近似解。
• 为凸体建立了Helly型定理：若一组凸体存在一个共同的同位似变换以最小化Hausdorff距离，则仅需大小至多为d(d + 2)的子集即可确定最优变换。
• 采用参考点法，以包围盒的直径替代多面体的直径，可获得(3√d + 1)-近似解，且该方法具有多项式时间可计算性。