[论文解读] Computational Complexity of Certifying Restricted Isometry Property

Abhiram Natarajan, Yi Wu|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2014

Graph theory and applications参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文证明，即使对于小的、常数的等距常数 δ，对矩阵的受限等距性性质（RIP）进行验证也是小集合膨胀难题（Small-Set-Expansion-hard）。作者通过一种改进常数的稀疏向量版本的切赫不等式，证明在小集合膨胀假设下，区分一个矩阵是否为 (k, δ)-RIP 或远离开 (k/C, 1−δ)-RIP 在计算上是困难的。

ABSTRACT

Given a matrix $A$ with $n$ rows, a number $k0$ and any arbitrarily small constant $0

研究动机与目标

• 研究验证矩阵是否满足给定参数下受限等距性性质（RIP）的计算复杂性。
• 确定 RIP 验证是否易于处理或困难，特别是针对实际压缩感知应用中常见的小 δ 值。
• 将以往仅适用于 δ=o(1) 的硬度结果扩展至所有常数 δ>0 的情形。
• 开发一种针对稀疏向量的更紧致的切赫不等式变体，这对于证明主要硬度结果至关重要。
• 建立从小集合膨胀问题到 RIP 验证问题的保间隙约化。

提出的方法

• 形式化 RIP 条件：若对所有 k-稀疏向量 x，均有 (1−δ)‖x‖₂ ≤ ‖Mx‖₂ ≤ (1+δ)‖x‖₂，则矩阵 M 为 (k, δ)-RIP。
• 构造一个矩阵 M，使得 MᵀM = I − (1/d)A，其中 A 是 d-正则图 G 的邻接矩阵。
• 利用归一化拉普拉斯矩阵 L = I − (1/d)A，通过瑞利商 λ_η = min_{‖x‖₀=ηn} (xᵀLx)/‖x‖₂² 将图 G 的谱性质与 RIP 验证联系起来。
• 证明一种新的稀疏版本切赫不等式：λ_η ≤ φ_η(G) ≤ √((2−λ_η)λ_η)，其常数优于经典版本。
• 执行从小集合膨胀问题到 RIP 验证问题的保间隙约化，表明区分高度 RIP 与远离开 RIP 的矩阵在计算上是困难的。
• 利用不等式 T_{1−ε/2}(β)/β ≤ β^{ε/4} 将膨胀性以谱间隙表示，从而支持常数 δ 情形下的硬度证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意常数 δ>0，即使 δ 很小，验证矩阵是否为 (k, δ)-RIP 是否在计算上是困难的？
• RQ2 能否将 RIP 验证的硬度结果从 δ=o(1) 的范围扩展至所有常数 δ>0？
• RQ3 是否存在一种更紧致的稀疏向量版本的切赫不等式？其是否可用于建立更强的硬度结果？
• RQ4 能否利用小集合膨胀假设，以对小 δ 值具有鲁棒性的方式证明 RIP 验证的硬度？
• RQ5 当矩阵具有额外结构属性（如有界相干性）时，RIP 验证是否仍然困难？

主要发现

• 对于任意常数 δ>0，验证矩阵是否满足 RIP 均为小集合膨胀难题，即使 δ 可任意小。
• 即使矩阵本身是强 RIP（即 δ 很小），该硬度结果依然成立，表明验证弱 RIP 本身即为困难问题。
• 证明了一种新的稀疏切赫不等式变体：φ_η(G) ≤ √((2−λ_η)λ_η)，其常数优于经典界 φ(G) ≤ √(2λ)。
• 稀疏切赫不等式中改进的常数对于证明硬度结果至关重要，且可能对其他应用有益。
• 从小集合膨胀问题到 RIP 验证问题的约化保留了‘高度 RIP’与‘远离开 RIP’情形之间的大间隙，即使 δ 为小常数。
• 结果表明，在小集合膨胀假设下，RIP 验证是困难的，这将其归入一类计算困难问题的范畴。