[论文解读] Computational Complexity of Games and Puzzles

Diogo M. Costa|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2018

Artificial Intelligence in Games参考文献 39被引用 13

一句话总结

本论文运用计算复杂性理论分析益智游戏的计算难度，通过从已知的 NP- 和 PSPACE-完全问题进行归约，证明了 Hexiom、Cut the Rope、Back to Bed 等游戏具有计算上的困难性。研究确立了这些游戏属于 NP-难（通过 3-CNFSAT）或 PSPACE-完全（通过 TQBF），并借助基于组件的构造方法揭示了其内在的算法复杂性。

ABSTRACT

In this thesis, we survey techniques and results from the study of Complexity Theory and Games. We then apply these techniques to obtain new results for previously unstudied games. Our contributions in the games Hexiom, Cut the Rope, and Back to Bed may be helpful in further studies by exploiting structure common to several games. We also highlight some interesting paths for further study related to uncertainty that have yet to receive thorough study given their prevalence in today's games.

研究动机与目标

• 通过形式化复杂性理论研究此前未被研究的益智游戏的计算复杂性。
• 将复杂性理论中既有的框架——如归约、电路 SAT 和 TQBF——应用于 Hexiom、Cut the Rope 和 Back to Bed 等新游戏。
• 识别出跨游戏的共性结构模式，这些模式可被用于复杂性证明。
• 探索开放的研究方向，特别是现代游戏中不确定性与隐藏信息的作用。
• 证明看似简单的益智机制可编码复杂的逻辑问题，暗示其固有的算法困难性。

提出的方法

• 基于 3-CNFSAT、电路 SAT 和 TQBF 的 NP-难与 PSPACE-难归约框架，将逻辑公式编码为游戏机制。
• 设计特定于游戏的自定义组件（如变量选择器、开关、门、路径段），以模拟逻辑门与约束条件。
• 将逻辑表达式（例如 $(\lnot x \land y) \lor x$）映射为 Hexiom 中的物理谜题配置，确保其可解当且仅当公式可满足。
• 采用奇偶性与多余格子计数方法，确保仅当逻辑公式正确求值时游戏才可解，尤其在 Hexiom 中有效。
• 将 TQBF 框架适配至 Back to Bed，利用巡逻敌人作为动态门机制，并通过传送装置消除布线需求。
• 通过带注释的实例与多款游戏中组件布局的可视化验证构造的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hexiom 是否具有计算困难性？若是，其属于何种复杂性类？
• RQ2 Cut the Rope 的机制能否用于模拟 3-CNFSAT，从而证明其 NP-难？
• RQ3 Back to Bed 的双人、完美信息机制如何用于模拟 TQBF，从而确立其 PSPACE-完全性？
• RQ4 益智游戏常见的机制——如移动、开关与路径规划——在多大程度上可编码通用计算问题？
• RQ5 隐藏信息或不确定性在现代游戏复杂性中扮演何种角色？为何该方向尚未被充分探索？

主要发现

• 通过从 3-CNFSAT 的归约，证明了 Hexiom 属于 NP-难，其可解性等价于逻辑公式的可满足性。
• 通过基于 3-CNFSAT 的归约，表明 Cut the Rope 属于 NP-难，其组件可模拟逻辑门与变量赋值。
• 通过基于 TQBF 的归约，证明了 Back to Bed 属于 PSPACE-完全，利用巡逻敌人作为动态门机制。
• 通过 TQBF 框架，证明了游戏 Offspring Fling 属于 PSPACE-完全，其移动与携带约束可编码量化布尔公式。
• 通过电路 SAT 归约，证明了 HexCells 和 Triangular Akari 属于 NP-难，其光线传播与方块放置可模拟逻辑电路。
• 本论文表明，Hexiom 中的多余格子与奇偶性计数机制可用于强制正确逻辑评估，确保仅当公式为真时游戏才可解。