[论文解读] Computational Complexity of Minimal Trap Spaces in Boolean Networks

Kyungduk Moon, Kangbok Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2022

Gene Regulatory Network Analysis被引用 8

一句话总结

该论文确定了布尔网络中与最小陷阱空间相关的三个关键决策问题的计算复杂度：陷阱空间验证、最小性检查和配置成员资格。结果表明，在一般情况下，这些问题属于 Π₂^P-完全；但当局部函数为单峰（unate）或通过真值表、BDD 或双重 DNF 编码时，复杂度降至 coNP-完全；当网络以函数图形式给出时，所有问题均可在多项式时间内求解。

ABSTRACT

A Boolean network (BN) is a discrete dynamical system defined by a Boolean function that maps to the domain itself. A trap space of a BN is a generalization of a fixed point, which is defined as the sub-hypercubes closed by the function of the BN. A trap space is minimal if it does not contain any smaller trap space. Minimal trap spaces have applications for the analysis of attractors of BNs with various update modes. This paper establishes the computational complexity results of three decision problems related to minimal trap spaces: the decision of the trap space property of a sub-hypercube, the decision of its minimality, and the decision of the membership of a given configuration to a minimal trap space. Under several cases on Boolean function representations, we investigate the computational complexity of each problem. In the general case, we demonstrate that the trap space property is coNP-complete, and the minimality and the membership properties are $Π_2^{ ext P}$-complete. The complexities drop by one level in the polynomial hierarchy whenever the local functions of the BN are either unate, or are represented using truth-tables, binary decision diagrams, or double DNFs (Petri net encoding): the trap space property can be decided in a polynomial time, whereas deciding the minimality and the membership are coNP- complete. When the BN is given as its functional graph, all these problems are in P.

研究动机与目标

• 刻画判断给定子超立方体是否为布尔网络中陷阱空间的计算复杂度。
• 分析判断陷阱空间是否最小（即不包含更小的陷阱空间）的复杂度。
• 研究判断给定配置是否属于某个最小陷阱空间的成员资格测试的复杂度。
• 考察布尔函数的不同表示方式（如真值表、BDD、双重 DNF）或结构属性（如单峰性）如何影响这些问题的复杂度。
• 证明当布尔网络以其实函数图（同步状态转移图）表示时，所有三个问题均可在多项式时间内求解。

提出的方法

• 作者将陷阱空间形式化为在网络函数 f 下封闭的子超立方体，并将最小性定义为内部不包含更小陷阱空间的性质。
• 他们提出了 SUB-HYPERCUBE 和 SATURATE 算法，通过顶点集和函数求值来计算包含给定配置集合的最小陷阱空间。
• 对于函数图表示，他们使用 Tarjan 算法计算终端强连通分量（tSCCs），并通过饱和检查验证最小性。
• 在不同布尔函数表示下进行复杂度分析：一般情况、单峰情况、真值表、BDD 和双重 DNF（Petri 网编码）。
• 论文通过将已知多项式层次问题（特别是 coNP 和 Π₂^P-完全问题）进行归约，建立下界。
• 他们证明，当输入为函数图时，所有三个问题（陷阱空间、最小性、成员资格）均属于 P，这是通过在状态转移图上使用多项式时间图算法实现的。

实验结果

研究问题

• RQ1 判断给定子超立方体是否为布尔网络中陷阱空间的计算复杂度是什么？
• RQ2 判断陷阱空间是否最小（即不包含更小陷阱空间）的复杂度是什么？
• RQ3 判断给定配置是否属于某个最小陷阱空间的复杂度是什么？
• RQ4 当局部函数为单峰，或以真值表、BDD 或双重 DNF 等结构化格式表示时，这些问题的复杂度如何变化？
• RQ5 当布尔网络以其实函数图（即同步状态转移图）表示，而非函数本身时，复杂度如何变化？

主要发现

• 在布尔网络表示的一般情况下，陷阱空间性质属于 coNP-完全。
• 在一般情况下，最小性与属于最小陷阱空间的成员资格问题均为 Π₂^P-完全。
• 当局部函数为单峰，或以真值表、BDD 或双重 DNF 表示时，陷阱空间验证的复杂度降至多项式时间，而最小性与成员资格问题变为 coNP-完全。
• 当布尔网络以其实函数图（同步状态转移图）形式给出时，所有三个问题——陷阱空间、最小性与成员资格——均可在多项式时间内判定。
• SATURATE 算法可计算包含一组顶点的最小陷阱空间，运行时间多项式，是函数图上 P-完全性结果的核心。
• 结果表明，当网络以函数图形式提供时，高效求解这些问题是可行的，这在模型检测与仿真工具中十分常见。