[论文解读] Computational Complexity of Some Quantum Theories in $1+1$ Dimensions

Saeed Mehraban|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 42被引用 4

一句话总结

本文研究了1+1维量子散射模型的计算复杂性，将粒子建模为可区分的球体，在弹性碰撞中产生排列的叠加态。当初始态为可分态时，该模型属于DQC1（可经典高效模拟的类），但当初始态为任意叠加态时，通过后选择（post-selection）实现BQP通用性，这意味着若能高效经典模拟，则多项式层级将坍缩至其第三层。

ABSTRACT

We study the computational complexity of certain integrable quantum theories in 1+1 dimensions. We formalize a model of quantum computation based on these theories. In this model, distinguishable particles start out with known momenta and initial superposition of different configurations. Then the label of these particles are measured at the end. We prove that additive approximation to single amplitudes of these models can be obtained by the one-clean-qubit model, if no initial superpositions are allowed. However, if arbitrary initial states and non-adaptive intermediate measurements are allowed, we show that conditioned on infinite polynomial hierarchy assumption it is hard to sample from the output distribution of these models on a classical randomized computer. A classical analogue of this model is also formalized and its computational power is pinned down within the complexity classes below BPP and NP.

研究动机与目标

• 分析1+1维可区分粒子弹性碰撞的量子球体置换模型的计算复杂性，作为经典弹性碰撞的量子模拟。
• 确定在不同初始叠加态下，此类模型生成的振幅与分布的复杂性类。
• 建立排斥δ相互作用中散射振幅与通过中间测量和后选择实现通用量子计算之间的联系。
• 比较经典与量子球体置换模型，明确其各自的复杂性类。

提出的方法

• 将量子球体置换模型形式化为由作用于n个可区分粒子的局部置换门生成的酉电路模型。
• 利用量子Yang-Baxter方程刻画一致的散射过程，并定义在排列态上作用为量子门的酉算符。
• 应用DQC1模型以高效近似初始态为恒等排列时的单个振幅。
• 在粒子标记基中应用中间消融测量，以模拟球体置换模型，从而通过后选择实现通用量子计算。
• 通过后选择将散射模型约化为量子电路模型，证明当允许任意初始叠加态时，其与BQP等价。
• 利用概率交换分析经典类比，证明其包含于BPL和Almost-L中，并在确定性预处理下等价于LOGSPACE。

实验结果

研究问题

• RQ1 在1+1维可区分粒子弹性碰撞的量子模型中，近似散射振幅的计算复杂性是什么？
• RQ2 系统的初始态如何影响结果量子计算的复杂性类？
• RQ3 在散射模型中，中间测量与后选择能否模拟通用量子计算？
• RQ4 具有AC⁰预处理的随机球体置换模型的古典计算能力是什么？
• RQ5 在不使多项式层级坍缩至其第三层的前提下，能否高效经典模拟具有任意初始叠加态的散射模型？

主要发现

• 当初始态为恒等排列时，振幅近似问题属于DQC1，表明其可被含一个洁净量子比特的经典计算机高效模拟。
• 当初始态为任意叠加态时，量子球体置换模型能高效采样标准量子计算机的输出分布，暗示其具有BQP通用性。
• 基于排斥δ相互作用的后选择散射模型可模拟通用量子计算，除非多项式层级坍缩至其第三层，否则无法实现高效经典模拟。
• 经典确定性球体置换模型的计算能力等价于LOGSPACE，而随机版本位于BPL与Almost-L之间。
• 计算目标排列概率的古典问题属于P#P，当概率为有理数时，可在多项式时间内通过#P预言机求解。
• 若将交换限制为相邻对换，则古典模型的能力被限制在P类，表明非相邻对换对实现更高计算能力至关重要。