[论文解读] Computational Higher Type Theory I: Abstract Cubical Realizability

Carlo Angiuli, Robert Harper+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2016

Logic, programming, and type systems参考文献 8被引用 17

一句话总结

本文提出了一种基于带有类似Kan运算的编程语言的马丁-洛夫风格意义解释的高维类型理论的计算解释。它建立了可计算性定理，表明即使在存在高维结构的情况下，闭合布尔类型项仍会归约到 true 或 false，这是首个完全计算化的高阶类型理论形式化，包含无反演公理和高阶归纳类型。

ABSTRACT

Brouwer's constructivist foundations of mathematics is based on an intuitively meaningful notion of computation shared by all mathematicians. Martin-Löf's meaning explanations for constructive type theory define the concept of a type in terms of computation. Briefly, a type is a complete (closed) program that evaluates to a canonical type whose members are complete programs that evaluate to canonical elements of that type. The explanation is extended to incomplete (open) programs by functionality: types and elements must respect equality in their free variables. Equality is evidence-free---two types or elements are at most equal---and equal things are implicitly interchangeable in all contexts. Higher-dimensional type theory extends type theory to account for identifications of types and elements. An identification witnesses that two types or elements are explicitly interchangeable in all contexts by an explicit transport, or coercion, operation. There must be sufficiently many identifications, which is ensured by imposing a generalized form of the Kan condition from homotopy theory. Here we provide a Martin-Löf-style meaning explanation of simple higher-dimensional type theory based on a programming language that includes Kan-like constructs witnessing the computational meaning of the higher structure of types. The treatment includes an example of a higher inductive type (namely, the 1-dimensional sphere) and an example of Voevodsky's univalence principle, which identifies equivalent types. The main result is a computational canonicity theorem that validates the computational interpretation: a closed boolean expression must always evaluate to a boolean value, even in the presence of higher-dimensional structure. This provides the first fully computational formulation of higher-dimensional type theory.

研究动机与目标

• 基于马丁-洛夫的意义解释，发展高维类型理论的计算基础。
• 解决确保可计算性（即，可观测类型闭合项归约到规范值）的挑战，即使在存在高维结构的情况下亦成立。
• 为无反演公理和高阶归纳类型（如圆）提供完全计算化的语义，使用显式路径和协变操作。
• 将类型理论的操作语义扩展至包含维度名称、路径抽象和类似Kan的运算，以将识别建模为可计算变换。
• 验证计算解释在包含结合性条件的 ∞-群胚完整结构下仍保持可靠和完备。

提出的方法

• 引入维度上下文和维度项（0、1 和维度变量），以建模抽象区间和高维立方体。
• 为在每个维度上将闭合项归约到规范形式定义确定性操作语义，支持维度变量的代换和重命名。
• 引入 H-复合（hcom）和协变（coer）运算，以建模路径填充和传输，确保统一的Kan条件。
• 将类型建模为跨维度的项集合，通过基于路径的识别和代换下的结合性来定义相等性。
• 将该框架应用于高阶归纳类型（如圆）和无反演公理，使用显式路径构造子和类型同构。
• 建立一种意义解释，其中类型和项被计算化解释，相等性在代换和路径运算下封闭。

实验结果

研究问题

• RQ1 高维类型理论能否被赋予一种完全计算化的意义解释，以在存在高维结构的情况下仍保持可观测类型（如布尔类型）的可计算性？
• RQ2 在具有显式路径和传输的类型理论中，无反演公理如何被计算实现？
• RQ3 对于具有显式路径构造子的高阶归纳类型（如1-球面），可计算语义应如何定义？
• RQ4 Kan运算（hcom、coer）如何在高维结构存在的情况下确保一致性和统一性？
• RQ5 该框架能否以计算上有意义的方式支持 ∞-群胚的完整结构，包括路径复合、逆元和结合性？

主要发现

• 在维度零的闭合布尔类型项总是归约到 true 或 false，确立了高维类型理论中可观测类型可计算性的基础。
• 该框架通过将类型同构计算解释为类型之间的显式路径，支持无反演公理原则。
• 圆类型通过一个基点和一个环路进行建模，其消去原则通过路径抽象和协变操作获得计算语义。
• H-复合运算确保所有边界条件被一致满足，从而能够从边界构造路径。
• 协变运算允许沿路径传输项，其显式计算规则在代换下保持相等性。
• 整个系统在代换和路径运算下封闭，确保 ∞-群胚的结构被计算化实现。