[论文解读] Computational homogenization of heterogeneous media under dynamic loading

Chenchen Liu, Celia Reina|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2015

Composite Material Mechanics参考文献 49被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于在动态载荷下对非均质材料进行计算均质化的变分多尺度方法，将传统FE²方法扩展至包含惯性力和体积力的任意载荷条件。该方法实现了准显式多尺度求解器（QEMS），在每个时间步仅通过一次牛顿-拉夫森迭代即可同时求解宏观与微观自由度，准确捕捉动态状态下的色散与收敛行为。

ABSTRACT

A variational coarse-graining framework for heterogeneous media is developed that allows for a seamless transition from the traditional static scenario to a arbitrary loading conditions, including inertia effects and body forces. The strategy is formulated in the spirit of computational homogenization methods (FE$^2$) and is based on the discrete version of Hill's averaging results recently derived by the authors. In particular, the traditional static multiscale scheme is proved here to be equivalent to a direct homogenization of the principle of minimum potential energy and to hold exactly under a finite element discretization. This perspective provides a unifying variational framework for the FE$^2$ method, in the static setting, with Dirichlet or Neumann boundary conditions on the representative volume element; and it directly manifests the approximate duality of the effective strain energy density obtained with these two types of boundary conditions in the sense of Legendre transformation. Its generalization to arbitrary loading conditions and material constitutive relations is then immediate through the incremental minimum formulation of the dynamic problem à la Radovitzky and Ortiz (1999), which, in the discrete setting, is in full analogy to the static problem. These theoretical developments are then translated into an efficient multiscale FE$^2$ computational strategy for the homogenization of a microscopic explicit dynamics scheme, with two noteworthy properties. Firstly, each time incremental problem can be solved exactly with a single Newton-Raphson iteration with a constant Hessian, regardless of the specific non-linearities or history-dependence of the micro-constituents' behavior. Secondly, the scheme concurrently solves for the microscopic and macroscopic degrees of freedom, in contrast to standard approaches based on sequential or nested minimizations.

研究动机与目标

• 通过将传统FE²方法扩展至包含惯性和体积力的动态载荷条件，解决其仅限于静态条件的局限性。
• 建立统一的变分公式，利用增量最小势能原理，实现从静态到动态情形的无缝过渡。
• 实现宏观与微观自由度的同时求解，避免顺序或嵌套最小化策略。
• 在动态设定下建立均质化应力与原子模拟中Virial应力之间的直接联系，提升跨尺度一致性。
• 提供一种计算高效的多尺度求解器（QEMS），在空间与时间离散化下均保持高精度。

提出的方法

• 采用Radovitzky和Ortiz（1999）提出的增量最小势能原理，将其适配至离散有限元设置，以构建动态问题的数学表述。
• 推导离散形式的Hill平均定理，确保微观平衡与宏观均质化之间的一致性。
• 提出一种变分多尺度降尺度策略，直接对增量势能进行均质化，通过勒让德变换保持狄利克雷与诺伊曼边界条件之间的对偶性。
• 实现一种准显式多尺度求解器（QEMS），由于海森矩阵保持恒定，每个时间步均可通过单次牛顿-拉夫森迭代精确求解。
• 在代表性体积元（RVE）上施加周期性边界条件，以保证尺度分离，并在微位移变分中保持对称性。
• 通过对平均增量势能关于宏观场取变分，推导出有效应力与应变能密度，从而获得一致的宏观驱动力。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持变分一致性和尺度分离的前提下，将FE²方法从静态条件推广至动态载荷条件？
• RQ2 惯性力与体积力在非均质材料均质化中的作用是什么？如何在多尺度框架中一致地加以整合？
• RQ3 在动态模拟中，是否可通过单次牛顿-拉夫森迭代精确求解耦合的微-宏观问题？该方法在何种条件下成立？
• RQ4 所提出的框架与原子模拟中的Virial应力有何关联？这对跨尺度一致性意味着什么？
• RQ5 QEMS方法在多大程度上能准确预测动态波传播问题中的色散关系与收敛行为？

主要发现

• 所提出的框架通过将最小势能变分原理扩展至含惯性和体积力的时间相关问题，成功将FE²方法推广至动态载荷条件。
• 由于海森矩阵保持恒定，该方法在每个增量时间步均可通过单次牛顿-拉夫森迭代实现精确求解，从而实现准显式多尺度求解器（QEMS）。
• 通过变分框架推导出的有效应变能密度，在勒让德变换意义下，精确保持了狄利克雷与诺伊曼边界条件之间的对偶性。
• 在动态设定下，均质化应力在数学上等价于原子模拟中使用的Virial应力张量，揭示了连续介质与原子尺度均质化之间的根本类比。
• 针对一维层状复合材料的数值结果表明，该方法能准确预测色散特性，并在空间与时间离散化下收敛至精确解。
• 该方法成功捕捉了在长度尺度分离所允许的频率范围内的动态行为，验证了其在非均质材料与超材料中波传播模拟中的适用性。