[论文解读] Computational Methods for Martingale Optimal Transport problems

Gaoyue Guo, Jan Obłój|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2017

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 33被引用 14

一句话总结

本文通过将多步、多维的局部鞅最优传输（MOT）问题近似为一系列线性规划（LP）问题，提出了一套计算框架。它引入了基于积分或采样的两种离散化方法，并首次为一维MOT问题建立了收敛速率估计，从而实现了具有理论保证的实际数值实现。

ABSTRACT

We establish numerical methods for solving the martingale optimal transport problem (MOT) - a version of the classical optimal transport with an additional martingale constraint on transport's dynamics. We prove that the MOT value can be approximated using linear programming (LP) problems which result from a discretisation of the marginal distributions combined with a suitable relaxation of the martingale constraint. Specialising to dimension one, we provide bounds on the convergence rate of the above scheme. We also show a stability result under only partial specification of the marginal distributions. Finally, we specialise to a particular discretisation scheme which preserves the convex ordering and does not require the martingale relaxation. We introduce an entropic regularisation for the corresponding LP problem and detail the corresponding iterative Bregman projection. We also rewrite its dual problem as a minimisation problem without constraint and solve it by computing the concave envelope of scattered data.

研究动机与目标

• 开发一种可数值实现的方法，用于求解一般性的多步、多维局部鞅最优传输（MOT）问题。
• 解决在计算最优传输中引入局部鞅约束的挑战，这对于数学金融中的模型无关定价至关重要。
• 提供一种离散化策略，适用于可计算分布积分或可获得样本的情形。
• 为实轴上的一步MOT问题建立收敛速率估计，这是文献中的一个新结果。
• 通过将问题简化为一系列可处理的线性规划问题，弥合理论MOT与实际计算之间的鸿沟。

提出的方法

• 通过离散化各边缘分布并放松局部鞅条件，将MOT问题近似为一系列线性规划（LP）问题。
• 提出两种通用的离散化技术：一种基于对分布计算积分，另一种基于蒙特卡洛采样。
• 通过放松局部鞅条件，使LP公式在计算上可行，同时保持对真实MOT解的收敛性。
• 利用正则条件概率的递归构造可测传输映射，以确保在离散设置下局部鞅性质近似满足。
• 利用对偶理论与最优传输技术，验证LP近似的合理性并分析误差界。
• 通过控制离散化层级与测度尾部行为相关的误差项之和，建立一维情况下的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用数值方法近似多步、多维的局部鞅最优传输问题？
• RQ2 当仅能获得边缘分布的积分或样本时，哪些离散化策略是有效的？
• RQ3 能否在离散化下严格建立一维MOT问题的收敛速率？
• RQ4 放松局部鞅条件对LP近似在MOT问题中精度的影响如何？
• RQ5 基于LP的数值方案在MOT设定下的理论误差界是什么？

主要发现

• 通过边缘分布的离散化和局部鞅条件的放松，MOT问题可近似为一系列线性规划问题。
• 提出了两种实用的离散化方法：一种适用于可计算积分的情形，另一种适用于可获得样本的情形。
• 对于一维MOT问题，本文首次提供了已知的收敛速率估计，其显式边界取决于测度的尾部行为。
• 在一维情况下，收敛速率受参数θ（尾部衰减速率）和离散化点数n的制约，当θ < 2时，速率阶为n^{1/θ - 1}。
• 在高维情形（d ≥ 2）下，收敛速率依赖于维度d和尾部参数θ，其界涉及n的对数或幂律项。
• 理论框架确保随着离散化趋于精细，LP近似收敛至真实MOT解，且误差由各层级上局部误差项之和控制。