[论文解读] Computational modelling of cardiac ischaemia using a variable-order fractional Laplacian

Megan E. Farquhar, Timothy J. Moroney+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 20被引用 7

一句话总结

该论文在单域模型中提出了一种变阶分数阶拉普拉斯算子，用于模拟心肌缺血，采用非结构化网格上的高效矩阵函数方法。结果表明，波再次激动——心律失常的关键机制——仅由受损组织中空间变化的分数阶导致，无需改变离子模型或刺激方案。

ABSTRACT

Heart failure is one of the most common causes of death in the western world. Many heart problems are linked to disturbances in cardiac electrical activity, such as wave re-entry caused by ischaemia. In terms of mathematical modelling, the monodomain equation is widely used to model electrical activity in the heart. Recently, Bueno-Orovio et al. [J. R. Soc. Interface 11: 20140352, 2014] pioneered the use of a fractional Laplacian operator in the monodomain equation to account for the complex heterogeneous structures in heart tissue. In this work we consider how to extend this approach to apply to hearts with regions of damaged tissue. This requires the use of a fractional Laplacian operator whose fractional order varies spatially. We develop efficient numerical methods capable of solving this challenging problem on domains ranging from simple one-dimensional intervals with uniform meshes, through to full three-dimensional geometries on unstructured meshes. Results are presented for several test problems in one dimension, demonstrating the effects of different fractional orders in regions of healthy and damaged tissue. Then we showcase some new results for a three-dimensional fractional monodomain equation with a Beeler-Reuter ionic current model on a rabbit heart mesh. These simulation results are found to exhibit wave re-entry behaviour, brought about only by varying the value of the fractional order in a region representing damaged tissue.

研究动机与目标

• 通过在空间上引入变阶分数阶扩散，提升对缺血性心肌电活动模拟的准确性，以反映组织异质性。
• 解决在复杂非结构化三维网格上求解变阶分数阶拉普拉斯算子的计算挑战，此类网格在心脏模拟中常见。
• 开发一种基于矩阵的数值方法，避免密集矩阵运算，从而实现对大规模三维问题的可扩展性。
• 探究波再次激动——与危及生命的心律失常相关——是否可仅由分数阶扩散在受损组织区域中自然产生。
• 将该方法与现有的一维结果进行验证，并在解剖学上真实可信的兔子心脏三维网格上展示其可行性。

提出的方法

• 在分数阶 α 在健康组织（α=2）与缺血组织（α<2）之间空间变化的条件下，定义变阶分数阶拉普拉斯算子。
• 基于有界区域上齐次边界条件的特征函数展开，采用谱定义表示分数阶拉普拉斯算子。
• 利用矩阵传递技术，将分数阶拉普拉斯算子表示为标准离散拉普拉斯矩阵的矩阵函数。
• 应用Krylov子空间迭代方法（如GMRES）高效计算矩阵函数-向量乘积，避免密集矩阵组装。
• 采用算子分裂与隐式时间积分方法，将变阶分数阶单域方程与Beeler-Reuter离子模型结合求解。
• 在结构化一维网格和基于兔子心脏解剖模型生成的非结构化三维网格上求解该系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 变阶分数阶拉普拉斯算子能否有效捕捉缺血性心肌组织中电传导特性的改变？
• RQ2 当仅在受损组织区域降低分数阶时，波再次激动行为是否能在单域模型中自然出现？
• RQ3 与现有在非结构化网格上求解分数阶PDE的方法相比，所提数值方法在精度和效率方面表现如何？
• RQ4 该方法能否高效扩展至三维、解剖学上真实的心脏几何结构？
• RQ5 改变分数阶对缺血区域传导速度和波前形态有何影响？

主要发现

• 所提方法与Cusimano（2016）的先前一维结果一致，验证了其准确性和一致性。
• 该方法避免了密集矩阵分解的高计算成本，迭代计算成本在大规模一维问题中表现出有利的缩放特性。
• 在兔子心脏网格的三维模拟中，当缺血区域的分数阶降低至 α=1.7 而健康组织保持 α=2 时，观察到波再次激动现象。
• 再次激动机制源于缺血区域（α=1.7）传导速度减慢，导致波在绕行心室壁后重新进入健康组织。
• 观察到波在缺血区域发生逆行传播，表明仅由分数阶扩散驱动的折返性再进入模式。
• 结果表明，空间变化的分数阶可无需修改离子电流模型或刺激方案，重现临床相关的心律失常诱发现象。