[论文解读] Computational quantum transport

Xavier Waintal, Michael Wimmer+6 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2024

Quantum and electron transport phenomena被引用 4

一句话总结

本文对计算量子输运提供了全面且教学性的综述，统一了纳米尺度系统中相干电子输运的散射理论与格林函数形式。该文从第一性原理推导出两种方法，证明其等价性，并系统分析了数值算法——尤其是递归格林函数——提供了计算量子器件中电导、电流和噪声的稳定高效方法。

ABSTRACT

This review is devoted to the different techniques that have been developed to compute the coherent transport properties of quantum nanoelectronic systems connected to electrodes. Beside a review of the different algorithms proposed in the literature, we provide a comprehensive and pedagogical derivation of the two formalisms on which these techniques are based: the scattering approach and the Green's function approach. We show that the scattering problem can be formulated as a system of linear equations and that different existing algorithms for solving this scattering problem amount to different sequences of Gaussian elimination. We explicitly prove the equivalence of the two formalisms. We discuss the stability and numerical complexity of the existing methods.

研究动机与目标

• 提供纳米系统中量子输运散射与格林函数形式的统一、教学性的推导。
• 建立散射矩阵与格林函数方法之间的数学等价性。
• 分析现有求解量子输运问题的算法在数值稳定性和计算复杂度方面的权衡。
• 系统化离散格点模型中端口模、散射问题与自能嵌入的表述。
• 实现对实际纳米电子器件中电导、电流和噪声的精确高效模拟。

提出的方法

• 通过将散射问题表述为线性方程组并使用高斯消去序列求解，推导出散射形式。
• 利用端口哈密顿量的特征分解，分离传播模与倏逝模，从而实现对非可逆跃迁矩阵的稳定处理。
• 应用Fisher–Lee关系，将散射矩阵与散射区的先进格林函数联系起来。
• 通过广义S-矩阵与适当的模归一化，发展出即使在非正交基集下也稳定的端口问题公式。
• 引入递归格林函数（RGF）算法，作为计算大系统格林函数的数值稳定方法。
• 应用Keldysh形式，计算非平衡可观测量，如电流、噪声及高阶关联。

Figure 1: Sketch of a quasi one-dimensional wire of width $\mathcal{W}$ . The shaded scattering region in the middle symbolizes an arbitrary potential that scatters the plane waves coming from the left into reflected ( $r$ ) and transmitted ( $t$ ) wave.

实验结果

研究问题

• RQ1 如何严格推导散射形式与格林函数形式，并在量子输运中证明其等价性？
• RQ2 求解量子输运问题的不同算法在数值稳定性和计算复杂度方面存在哪些权衡？
• RQ3 在具有非可逆跃迁矩阵的离散模型中，如何系统处理端口中的倏逝模与传播模？
• RQ4 离散对称性（如时间反演、手征对称性）在构建合适端口模及简化输运问题中起什么作用？
• RQ5 如何将递归格林函数方法推广并稳定化，以适用于具有复杂几何结构和相互作用的真实纳米尺度器件？

主要发现

• 散射问题在数学上等价于线性方程组，所有现有算法均对应于不同的高斯消去序列。
• 通过Fisher–Lee关系与模分解，严格证明了散射矩阵与格林函数形式之间的等价性。
• 证明递归格林函数（RGF）算法在大系统中具有数值稳定性与高效性，尤其在结合适当的模归一化时效果更佳。
• 本文提出了一种系统方法，通过将速度与电流归一化因子融入模向量，处理非正交基集。
• 广义散射矩阵 $S_{\text{tp}}$ 同时包含传播模与倏逝模，可精确处理端口中的隧穿与倏逝衰减。
• 该形式体系被扩展以包含多体效应、热电响应、自旋电流与量子噪声，所有内容均统一于同一框架内。

Figure 2: Examples of conductance calculations in a two dimensional square lattice. For each example the inset shows the tight-binding system that has been used with the scattering region in black and the first two layers of semi-infinite electrodes in red. Upper left: conductance quantization in a