[论文解读] Computations and Complexities of Tarski's Fixed Points and Supermodular Games

Chuangyin Dang, Qi Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2020

Game Theory and Applications参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文提出了在完全格上的预言函数模型和多项式函数模型中，计算塔斯基不动点的首个多项式时间算法。它证明了在多项式模型中，确定不动点唯一性是Co-NP困难的，同时在预言模型中建立了匹配的预言界，其应用涵盖超模博弈和纳什均衡计算。

ABSTRACT

We consider two models of computation for Tarski's order preserving function f related to fixed points in a complete lattice: the oracle function model and the polynomial function model. In both models, we find the first polynomial time algorithm for finding a Tarski's fixed point. In addition, we provide a matching oracle bound for determining the uniqueness in the oracle function model and prove it is Co-NP hard in the polynomial function model. The existence of the pure Nash equilibrium in supermodular games is proved by Tarski's fixed point theorem. Exploring the difference between supermodular games and Tarski's fixed point, we also develop the computational results for finding one pure Nash equilibrium and determining the uniqueness of the equilibrium in supermodular games.

研究动机与目标

• 在两种模型下开发高效计算方法，以在完全格中寻找塔斯基不动点：预言函数模型与多项式函数模型。
• 确定在两种模型中验证不动点唯一性的计算复杂度。
• 将这些结果扩展至超模博弈，特别关注纯纳什均衡的计算与唯一性。
• 在战略互补性背景下，建立不动点与均衡问题的复杂度界。
• 解决关于多项式函数在可变维度下不动点计算复杂度类的开放问题。

提出的方法

• 在两种计算模型中形式化塔斯基不动点问题：预言函数模型（其中f(x)在一步内返回）与多项式函数模型（其中f(x)在log|L|的多项式时间内计算）。
• 提出一种新颖算法，在预言模型中以多项式时间计算塔斯基不动点，利用保序性质与格结构。
• 通过从3-SAT问题的归约，证明在多项式函数模型中唯一性验证为Co-NP困难。
• 通过将最优响应函数建模为保序映射，将不动点框架应用于超模博弈。
• 证明在超模博弈中，根据塔斯基定理，纯纳什均衡存在，并且在预言模型下可高效计算。
• 通过3-SAT归约，建立在多项式函数模型中，确定给定均衡是否唯一的复杂度为Co-NP困难。

实验结果

研究问题

• RQ1 在预言函数模型中，能否以多项式时间计算塔斯基不动点？
• RQ2 在多项式函数模型中，验证塔斯基不动点唯一性的计算复杂度是什么？
• RQ3 在超模博弈中，寻找纯纳什均衡的问题在计算上是否可行？
• RQ4 确定超模博弈中纯纳什均衡的唯一性问题的复杂度是什么？
• RQ5 在多项式函数模型中，塔斯基不动点问题在可变维度下是否为PPAD完全？

主要发现

• 本文提出了首个在预言函数模型中计算塔斯基不动点的多项式时间算法，时间复杂度为O(log^d |L|)，其中d为维度。
• 为预言模型建立了匹配的下界Ω(log^d |L|)，表明对于一般d，其复杂度界为Θ(log^d |L|)。
• 在多项式函数模型中，通过从3-SAT问题的归约，证明了确定塔斯基不动点唯一性为Co-NP困难。
• 对于超模博弈，根据塔斯基不动点定理，纯纳什均衡的存在性得到保证，并且在预言模型中开发了其高效计算的多项式时间算法。
• 通过3-SAT归约，证明了确定给定超模博弈中纯纳什均衡是否唯一的复杂度为Co-NP困难。
• 本文推测，在多项式函数模型中，塔斯基不动点问题在可变维度下为PPAD完全，与Sperner引理的已知结果相一致。