[论文解读] Computer assisted proof for Apwenian sequences related to Hankel determinants

Hao Fu, Guo-Niu Han|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文提出了一种计算机辅助证明方法，用于验证由特定生成多项式定义的若干无限±1序列的Apwenian性质，采用改进的组合方法。研究证实，由$\Phi(1 - x - x^2)$、$\Phi(1 - x - x^2 - x^3 + x^4)$及其他最高至17次的多项式生成的序列均为Apwenian，即其Hankel行列式除以$2^{n-1}$后对所有$n$均为奇数，该结论通过算法计算得到验证，复杂情形下使用优化的C代码实现。

ABSTRACT

An infinite $\pm 1$-sequence is called {\it Apwenian} if its Hankel determinant of order $n$ divided by $2^{n-1}$ is an odd number for every positive integer $n$. In 1998, Allouche, Peyrière, Wen and Wen discovered and proved that the Thue--Morse sequence is an Apwenian sequence by direct determinant manipulations. Recently, Bugeaud and Han re-proved the latter result by means of an appropriate combinatorial method. By significantly improving the combinatorial method, we prove that several other Apwenian sequences related to the Hankel determinants with Computer Assistance.

研究动机与目标

• 识别并证明与Hankel行列式相关的新型无限±1序列的Apwenian性质。
• 将已知结果（即Thue–Morse序列是Apwenian）扩展至由递归乘积生成函数定义的更广泛序列类。
• 开发并应用一种改进的组合方法，结合计算机辅助手段，验证传统代数方法失效时的Apwenian性质。
• 展示在无法获得闭式行列式表达式时，利用算法计算证明复杂生成多项式序列的Apwenian性质的可行性。

提出的方法

• 作者使用广义组合方法分析由无限乘积$\Phi(\tilde{\bf v}(x)) = \prod_{k=0}^\infty \tilde{\bf v}(x^{d^k})$定义的序列的Hankel行列式结构，其中$\tilde{\bf v}(x)$为次数为$d-1$的±1多项式。
• 基于索引的基$d$展开，定义序列$U_n$、$V_n$、$W_n$等的递推关系，并通过模2运算追踪其行为，以确定Hankel行列式的奇偶性。
• 该方法涉及对不同序列族（如UVW → XYZ）之间的符号变换规则进行符号运算，状态以符号与数字的字符串组合表示，用于表示模2下的取值。
• 使用自定义程序Apwen.py自动化计算序列状态，并验证对所有$n$均有$H_n(F)/2^{n-1} \equiv 1 \pmod{2}$，通过将程序重写为C语言提升大计算量情形下的性能。
• 该算法通过模拟序列的递归结构，追踪每一项对行列式模2贡献的累积，以检查Hankel行列式的奇偶性。
• 对于$F_{13}$和$F_{17a/b}$等序列，证明过程耗时较长（Python环境下11小时，C语言环境下24个CPU并行运行7天），体现出计算的可扩展性及优化的必要性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在超出Thue–Morse序列的新型Apwenian序列，由特定生成多项式定义？
• RQ2 能否证明当$\tilde{\bf v}(x)$为次数$d > 2$的±1多项式时，由$\Phi(\tilde{\bf v}(x))$生成的序列具有Apwenian性质？
• RQ3 能否系统性地增强并自动化一种组合方法，以在无法获得闭式行列式表达式时验证Apwenian性质？
• RQ4 对于高次生成多项式，验证Apwenian性质的计算复杂度如何？如何降低该复杂度？

主要发现

• Thue–Morse序列$F_2(x) = \Phi(1 - x)$为Apwenian，确认了Allouche等人（1998年）的原始结果，现通过计算机辅助证明重新验证。
• 序列$F_3(x) = \Phi(1 - x - x^2)$、$F_5(x) = \Phi(1 - x - x^2 - x^3 + x^4)$、$F_{11}(x)$、$F_{13}(x)$，以及$F_{17a}(x)$与$F_{17b}(x)$均被证明为Apwenian。
• $F_{13}(x)$的证明耗时11小时，使用标准计算机上的Python程序Apwen.py完成。
• $F_{17a}(x)$与$F_{17b}(x)$的证明需将程序重写为C语言，并在24个CPU上并行运行7天，凸显高次情形下计算的强度。
• 该方法成功验证了所列序列对所有$n$均有$H_n(F)/2^{n-1} \equiv 1 \pmod{2}$，确认其Apwenian性质。
• 列表中未包含$F_7(x)$，表明并非所有由7次多项式生成的此类序列均为Apwenian，暗示底层条件具有非平凡结构。