[论文解读] Computing a Finite Size Representation of the Set of Approximate Solutions of an MOP

Oliver Schuetze, Carlos A. Coello Coello+2 more|ArXiv.org|Apr 3, 2008

Advanced Multi-Objective Optimization Algorithms参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的归档策略，用于随机搜索算法，以计算多目标优化（MOP）中 $ε$-有效解集的有限且紧致的近似。通过利用概率收敛保证和基于Hausdorff距离的质量界，该方法确保了具有受控近似误差的有限大小归档，并在连续和离散MOP上进行了实证验证，包括桁架设计和0-1背包问题。

ABSTRACT

Recently, a framework for the approximation of the entire set of $ε$-efficient solutions (denote by $E_ε$) of a multi-objective optimization problem with stochastic search algorithms has been proposed. It was proven that such an algorithm produces -- under mild assumptions on the process to generate new candidate solutions --a sequence of archives which converges to $E_ε$ in the limit and in the probabilistic sense. The result, though satisfactory for most discrete MOPs, is at least from the practical viewpoint not sufficient for continuous models: in this case, the set of approximate solutions typically forms an $n$-dimensional object, where $n$ denotes the dimension of the parameter space, and thus, it may come to perfomance problems since in practise one has to cope with a finite archive. Here we focus on obtaining finite and tight approximations of $E_ε$, the latter measured by the Hausdorff distance. We propose and investigate a novel archiving strategy theoretically and empirically. For this, we analyze the convergence behavior of the algorithm, yielding bounds on the obtained approximation quality as well as on the cardinality of the resulting approximation, and present some numerical results.

研究动机与目标

• 为解决连续多目标优化（MOP）中 $ε$-有效解集形成 $n$-维对象所导致的无限或大型归档的实际限制。
• 开发一种对近似解集 ($E_{ε}$) 的有限大小表示，该表示既紧密又计算上可行。
• 提供关于近似质量（以Hausdorff距离衡量）和最终归档基数的理论界。
• 在基准MOP上实证验证该方法，包括连续桁架设计和离散0-1背包问题，展示增强的解多样性与决策支持能力。

提出的方法

• 提出一种新型归档策略，动态维护一组候选解，同时以概率意义确保收敛至 $ε$-有效解集。
• 采用基于距离的选择机制，利用Hausdorff距离衡量近似质量并控制归档大小。
• 应用概率收敛分析，推导出Hausdorff误差和归档最大基数的理论界。
• 使用改进的进化策略结合新归档器，探索参数空间并在紧凑区域 $Q$ 内收集解。
• 引入容差参数 $\Delta$，以定义参考解周围的感兴趣区域，从而识别靠近优选点的近似解。
• 采用标量化和基于支配关系的过滤方法，确保归档中保持非支配解和 $ε$-有效解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个有限大小的归档，以理论保证紧致近似连续MOP中的 $ε$-有效解集？
• RQ2 有限归档与真实 $ε$-有效解集之间Hausdorff距离的理论界是什么？
• RQ3 归档基数如何随问题维度和期望近似精度变化？
• RQ4 所提出的归档策略能否通过提供一组靠近优选设计的多样化近似解来增强决策能力？

主要发现

• 在连续桁架设计问题中，当 $\Delta = 0$ 时，算法在4分21秒内达到约0.0005的Hausdorff距离，最终归档包含8377个元素。
• 当 $\Delta = 0.0001$ 时，相同问题耗时11分17秒，获得更紧致的近似，Hausdorff误差更小。
• 在 $n=30$ 的 {0,1}-背包问题中，当 $\epsilon = (2,2)$ 且 $\Delta = 0.1$ 时，最终归档包含182个元素，其中包含7个在参考点 $x_0$ 0.6%容差范围内的近似解。
• 这7个靠近 $x_0$ 的近似解在参数空间中显著不同——最多有12项不同——表明近似解为决策提供了有意义的多样性。
• 该方法生成了 $E_{\epsilon}$ 的有限且高质量近似，对近似误差和归档大小均提供了理论界，确保了实际可用性。
• 数值结果证实，考虑近似解可增加决策者可选的可行方案数量，且不牺牲解的质量。