[论文解读] Computing Abelian regularities on RLE strings

Shiho Sugimoto, Naoki Noda+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2017

Algorithms and Data Compression参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文提出了高效算法，用于在通过游程编码（RLE）压缩的字符串上计算阿贝尔正则性——阿贝尔平方、正则阿贝尔周期以及最长公共阿贝尔因子。通过利用RLE的结构，作者实现了阿贝尔平方和正则阿贝尔周期的O(mn)时间复杂度，以及最长公共阿贝尔因子的O(m²n)时间复杂度，其中m为RLE大小，n为原始字符串长度，相较于以往的O(n²)方法，在可压缩字符串上显著提升了性能。

ABSTRACT

Two strings x and y are said to be Abelian equivalent if x is a permutation of y, or vice versa. If a string z satisfies z = xy with x and y being Abelian equivalent, then z is said to be an Abelian square. If a string w can be factorized into a sequence v_1,...,v_s of strings such that v_1 ,..., v_{s-1} are all Abelian equivalent and vs is a substring of a permutation of v_1, then w is said to have a regular Abelian period (p,t) where p = |v_1| and t = |v_s|. If a substring w_1[i..i+l-1] of a string w_1 and a substring w_2[j..j+l-1] of another string w_2 are Abelian equivalent, then the substrings are said to be a common Abelian factor of w_1 and w_2 and if the length l is the maximum of such then the substrings are said to be a longest common Abelian factor of w_1 and w_2. We propose efficient algorithms which compute these Abelian regularities using the run length encoding (RLE) of strings. For a given string w of length n whose RLE is of size m, we propose algorithms which compute all Abelian squares occurring in w in O(mn) time, and all regular Abelian periods of w in O(mn) time. For two given strings w_1 and w_2 of total length n and of total RLE size m, we propose an algorithm which computes all longest common Abelian factors in O(m^2n) time.

研究动机与目标

• 通过利用游程编码（RLE）的结构压缩特性，加速字符串中阿贝尔正则性的计算。
• 解决现有O(n²)算法在未压缩字符串上计算阿贝尔正则性时的计算低效问题。
• 开发出时间复杂度依赖于RLE大小m而非原始字符串长度n的算法，尤其适用于高度可压缩的输入。
• 提供一个统一框架，利用基于RLE的技术计算阿贝尔平方、正则阿贝尔周期以及最长公共阿贝尔因子。

提出的方法

• 使用游程编码（RLE）表示输入字符串，将输入大小从n减少到m，其中m ≤ n。
• 使用帕里克向量（Parikh vectors）高效比较字符频率，并检测子串之间的阿贝尔等价性。
• 在RLE组件上应用滑动窗口技术，通过检查各运行段之间的频率平衡来检测阿贝尔平方和正则阿贝尔周期。
• 利用边界指针（bp₁, bp₂）跳过非有希望的窗口偏移，减少冗余检查。
• 基于帕里克向量差值的条件分类，检测两个RLE压缩字符串之间的公共阿贝尔因子。
• 将输出表示为O(m²)大小，确保输出表示紧凑且高效。

实验结果

研究问题

• RQ1 与未压缩字符串上的O(n²)时间相比，是否可以在RLE压缩字符串上加速阿贝尔平方的检测？
• RQ2 是否可以利用RLE更高效地计算正则阿贝尔周期，尤其是在高可压缩字符串上？
• RQ3 在RLE压缩字符串上计算最长公共阿贝尔因子的最优时间复杂度是多少？
• RQ4 如何优化RLE段之间的帕里克向量比较，以高效检测阿贝尔等价性？
• RQ5 阿贝尔正则性的输出大小是否可以以RLE大小m而非原始字符串长度n为界？

主要发现

• 该算法以O(mn)时间计算所有阿贝尔平方，当m ≪ n时，相比先前方法的O(n²)时间，具有渐近优势。
• 该算法以O(mn)时间计算所有正则阿贝尔周期，优于Kociumaka等人在高度可压缩字符串上的O(n(log log n + log σ))时间复杂度。
• 对于总RLE大小为m、总长度为n的两个字符串，该算法以O(m²n)时间计算所有最长公共阿贝尔因子，空间复杂度为O(σ)。
• 最长公共阿贝尔因子的输出表示大小被限制在O(m²)以内，支持紧凑存储和高效检索。
• 通过RLE将有效输入大小从n减少到m，该方法在可压缩字符串上实现了显著的性能提升，尤其当m远小于n时。
• 帕里克向量算术与边界指针（bp₁, bp₂）的结合，使得在RLE段之间实现阿贝尔等价性的常数时间检查，从而支持高效的滑动窗口处理。