[论文解读] Computing and Testing Small Vertex Connectivity in Near-Linear Time and Queries

Danupon Nanongkai, Thatchaphol Saranurak+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文提出了一种随机化蒙特卡洛算法，用于在 O(νk²) 时间内计算局部顶点连通性，当 k = O(√ν) 时，显著优于先前的 O(ν¹·⁵k polylog(νk)) 确定性时间界。该方法实现了无向图中 k-顶点连通性的首个近线性时间算法（Õ(m + nk³)），适用于 4 ≤ k ≤ polylog n，解决了自 Aho、Hopcroft 和 Ullman 于 1974 年提出的猜想以来长期存在的开放问题。

ABSTRACT

We present a new, simple, algorithm for the local vertex connectivity problem (LocalVC) introduced by Nanongkai~et~al. [STOC'19]. Roughly, given an undirected unweighted graph $G$, a seed vertex $x$, a target volume $ν$, and a target separator size $k$, the goal of LocalVC is to remove $k$ vertices `near' $x$ (in terms of $ν$) to disconnect the graph in `local time', which depends only on parameters $ν$ and $k$. In this paper, we present a simple randomized algorithm with running time $O(νk^2)$ and correctness probability $2/3$. Plugging our new localVC algorithm in the generic framework of Nanongkai~et~al. immediately lead to a randomized $ ilde O(m+nk^3)$-time algorithm for the classic $k$-vertex connectivity problem on undirected graphs. ($ ilde O(T)$ hides $ ext{polylog}(T)$.) This is the first near-linear time algorithm for any $4\leq k \leq ext{polylog} n$. Previous fastest algorithm for small $k$ takes $ ilde O(m+n^{4/3}k^{7/3})$ time [Nanongkai~et~al., STOC'19]. This work is inspired by the algorithm of Chechik~et~al. [SODA'17] for computing the maximal $k$-edge connected subgraphs. Forster and Yang [arXiv'19] has independently developed local algorithms similar to ours, and showed that they lead to an $ ilde O(k^3/ε)$ bound for testing $k$-edge and -vertex connectivity, resolving two long-standing open problems in property testing since the work of Goldreich and Ron [STOC'97] and Orenstein and Ron [Theor. Comput. Sci.'11]. Inspired by this, we use local approximation algorithms to obtain bounds that are near-linear in $k$, namely $ ilde O(k/ε)$ and $ ilde O(k/ε^2)$ for the bounded and unbounded degree cases, respectively. For testing $k$-edge connectivity for simple graphs, the bound can be improved to $ ilde O(\min(k/ε, 1/ε^2))$.

研究动机与目标

• 解决无向图中 k ≥ 4 时 k-顶点连通性的近线性时间算法这一长期开放问题。
• 设计一种更快的局部顶点连通性算法，其时间复杂度为 O(νk²)，正确性概率为 2/3，优于先前的 O(ν¹·⁵k polylog(νk)) 确定性方法。
• 实现对 k-顶点连通性和 k-边连通性的高效性质测试，其依赖于 k 和 ε 的近线性关系。
• 将该框架扩展至有向图，并提供 (1+ε)-近似解，同时提升运行时间性能。
• 利用局部近似算法推导出性质测试中的近最优界，尤其适用于有界度和无界度模型。

提出的方法

• 提出一种新颖的随机化算法用于局部顶点连通性（LocalVC）问题，目标是在种子顶点 x 附近找到一个体积不超过 ν 的小顶点割。
• 通过保持局部结构并支持高效计算的变换，将顶点连通性问题转化为边连通性问题。
• 使用基于间隙的局部算法（GapLocalVC），参数为 ν 和 gap = k−1，以 O(νk²) 时间检测大小小于 k 的顶点割。
• 通过对左部分较小的分离三元组 (L,S,R) 进行采样，估计距离 k-顶点连通性 ε-远的图的比例。
• 利用结构引理（例如，关于不相交小左部分的引理 6.13 和关于体积分布的引理 6.15）来限制检测到有效割的概率。
• 将局部算法整合到通用框架中，实现全局 k-顶点连通性计算，时间复杂度为 Õ(m + nk³)，并通过重复提高正确性概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种更快的局部顶点连通性算法，使其对 ν 和 k 的依赖接近线性，尤其是在 k 相对于 ν 较小时？
• RQ2 是否可能实现无向图中 k ≥ 4 时的 k-顶点连通性近线性时间算法，从而解决 Aho、Hopcroft 和 Ullman 于 1974 年提出的猜想？
• RQ3 该局部算法能否扩展至有向图，并提供 (1+ε)-近似解，同时提升运行时间性能？
• RQ4 在有界度和无界度模型下，k-顶点连通性和 k-边连通性性质测试的最优查询与时间复杂度边界是什么？
• RQ5 能否利用局部近似算法推导出在性质测试中对 k 和 ε 的近线性边界，尤其适用于简单图？

主要发现

• 所提出的随机化算法在 O(νk²) 时间内运行，正确性概率为 2/3，当 k = O(√ν) 时，优于先前的确定性 O(ν¹·⁵k polylog(νk)) 算法。
• 该算法实现了无向图中 k-顶点连通性的首个近线性时间解法，对 4 ≤ k ≤ polylog n 实现了 Õ(m + nk³) 的时间复杂度。
• 在性质测试中，该方法在有界度和无界度模型下分别实现了 Õ(k/ε) 和 Õ(k/ε²) 的查询复杂度边界。
• 对于简单图，k-边连通性测试的边界优化为 Õ(min(k/ε, 1/ε²))，与文献中已知的最佳边界一致。
• 该框架解决了性质测试中的两个长期开放问题，如 Forster 和 Yang 独立指出的那样，但本工作将其扩展至顶点连通性近似。
• 通过重复执行该过程 O(log δ⁻¹) 次，可将算法的正确性概率放大至 1−δ，同时保持时间复杂度的多对数因子不变。