[论文解读] Computing bounded solutions to linear Diophantine equations with the sum of divisors

Max A. Alekseyev|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2026

Polynomial and algebraic computation被引用 0

一句话总结

论文提出了一种高效的递归树搜索方法，用于在给定整数 a, b, c 的情况下，求解所有 n ≤ U 满足 σ(n) 方程 aσ(n) = bn + c 的解，使用 SageMath 实现并通过 MapReduce 进行并行化。

ABSTRACT

We propose an efficient computational method for finding all solutions $n\leq U$ to the Diophantine equation $aσ(n) = bn + c$, where integer coefficient $a,b,c$ and an upper bound $U$ are given. Our method is implemented in SageMath computer algebra system within the framework of recursively enumerated sets and natively benefits from MapReduce parallelization. We used it to discover new solutions to many published equations and close gaps in between the known large solutions, including but not limited to hyperperfect and $f$-perfect numbers, as well as to significantly lift the existence bounds in open questions about quasiperfect and almost-perfect numbers.

研究动机与目标

• 开发一种高效的计算方法，找到给定整数 a, b, c 且 gcd(a,b,c)=1 的所有解 n ≤ U，使得 aσ(n) = bn + c。
• 将整数 n ≤ U 的搜索空间表示并以根节点为 1 的树结构遍历，以实现高效剪枝和解的发现。
• 利用捷径、素轮和剪枝在处理特殊情况（例如 σ(n) 为奇数、gcd 情况）时减少遍历量。
• 提供一个基于 SageMath 的实现，配合 RES 框架实现 MapReduce 并行化及可配置约束以支持定向搜索。

提出的方法

• 将整数 n ≤ U 表示为以 1 为根的树 T_U，子节点通过乘以带约束的素幂来形成，且对最大的素因子有约束。
• 对 T_U 进行受限的深度优先遍历，使用捷径在 n′ 至多有两个素因子或是单一素幂时直接给出解。
• 引入素轮以维持 n′ 的可行素幂并利用理论不等式对 σ(n′)/n′ 进行界定，从而指导剪枝决策。
• 在 gcd(a′, c′) > 1 的情形下，通过从 g = gcd(a′, c′) 派生的素幂进行选择性跳跃，并传播 spf(n′) 的下界 l_p。
• 对奇 σ、a′、b′+c′ 为奇数的边界情形进行区分，并使用莱根德符号测试来剪枝不可行的指数。
• 通过 SageMath 的 RES 框架实现，含 reduce_abc() 配置简化、MapReduce 并行化，以及可选的指向 OEIS 核心的引用。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个递归、基于树的搜索是否能在一般 a, b, c 情况下高效地找到所有 n ≤ U 满足 aσ(n) = bn + c 的解？
• RQ2 捷径和素轮在不同系数选择下在缩小搜索空间方面的效果如何？
• RQ3 在 SageMath 中利用 MapReduce 为大规模的 U 实现方法在实际性能和可扩展性方面的优势是什么？
• RQ4 方法如何处理奇 σ、gcd 约束以及 U 以上潜在解等特殊情况？
• RQ5 该方法是否可以扩展到 σ(n) 以外的相关乘法函数？

主要发现

• 该方法发现了一些 σ(n) 方程的新解并收窄了界限，包括拟完美数和几乎完美数的情形。
• 在已引证的运行中，提升了拟完美数和奇数几乎完美数的存在性界限，例如拟完美数低于 10^45、奇数几乎完美数低于 10^47。
• 该方法在超完美数和 f-完美数族的长期项发现方面也有突破性结果，包括此前未知的项，并将已知项置于更大的搜索范围内。
• 实现展示了实际效率，在多种丰度目标和 OEIS 序列下的核心小时数难易度均可观测。
• 通过在多核上使用 MapReduce 实现并行化显著加速计算，尽管性能依赖于系数和硬件限制。
• 作者提供了公开的 SageMath 实现（sigma_linear_eq.sage）并讨论对其他乘法函数的扩展性。