[论文解读] Computing braid groups of graphs with applications to robot motion planning

Vitaliy Kurlin|ArXiv.org|Aug 7, 2009

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文提出了一种算法，用于计算图上辫子群的表示，利用机器人在图上的无碰撞运动规划。结果表明，轻型平面图的2点辫子群具有仅含换位子关系的表示，该结果基于线性时间运动规划算法与配置空间上的形变收缩技术。

ABSTRACT

We design an algorithm writing down presentations of graph braid groups. Generators are represented in terms of actual motions of robots moving without collisions on a given graph. A key ingredient is a new motion planning algorithm whose complexity is linear in the number of edges and quadratic in the number of robots. The computing algorithm implies that 2-point braid groups of all light planar graphs have presentations where all relators are commutators.

研究动机与目标

• 开发一种算法，用于计算图辫子群的表示，特别是针对基于图的轨道上机器人的运动规划。
• 解决在基于图的轨道上建模多个机器人无碰撞运动的拓扑挑战。
• 确立仅由换位子关系构成辫子群表示的条件，特别是针对平面图。
• 提供一个几何与算法框架，将图的拓扑与配置空间的基本群结构联系起来。

提出的方法

• 使用形变收缩将图上机器人的配置空间简化为一维复形。
• 应用细分定理消除度为2的顶点，将图简化为无环且无重边的最小形式。
• 从高阶顶点处的机器人交换（使用三叉运动）构造生成元，以及从一个机器人移动而另一个固定时遍历的环路构造生成元。
• 将每个生成元表示为无序配置空间中的环路，通过安全支撑条件确保无碰撞运动。
• 通过证明沿不相交环路的运动是自由同伦等价的，推导出关系式为换位子。
• 通过贝蒂数的第一项进行归纳，逐步构建辫子群表示，为每个新增环路添加生成元与关系式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过显式表示算法计算图的辫子群？
• RQ2 在何种条件下，平面图的2点辫子群可具有仅含换位子关系的表示？
• RQ3 能否设计一种运动规划算法，其时间复杂度相对于边数为线性，相对于机器人数量为二次？
• RQ4 何种拓扑与组合条件可确保辫子群表示中的所有关系式均为换位子？

主要发现

• 本文提出算法1.5，其时间复杂度相对于边数为线性，相对于机器人数量为二次，用于计算图的2点辫子群表示。
• 对于轻型平面图，2点辫子群的表示中所有关系式均为换位子，如命题4.6所示。
• 几何上，生成元对应于度数≥3的顶点处的机器人交换，以及一个机器人移动而另一个固定时遍历的环路。
• 证明依赖于证明代表沿不相交环路运动的环路是同伦等价的，因此其换位子为平凡关系式。
• 该构造适用于通过添加不相交边从树构建的图，其移除这些边后仍为树，满足引理4.5的条件。
• 结果证实，对于此类图，辫子群表示由换位子关系生成，支持了关于平面图辫子群的一个猜想。