[论文解读] Computing Complex Dimension Faster and Deterministically

J. Maurice Rojas|ArXiv.org|May 3, 2000

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文提出了一种计算由多项式系统定义的代数集复维数的确定性算法，其算术复杂度界显著改进，与近期的随机化结果相匹配。该方法依赖于改进的有理化单变量表示（RUR）和多项式根系的有效界，主要贡献包括显式的复杂度估计，以及在广义黎曼假设（GRH）下对超曲面空性问题的改进条件算法。

ABSTRACT

We give a new complexity bound for calculating the complex dimension of an algebraic set. Our algorithm is completely deterministic and approaches the best recent randomized complexity bounds. We also present some new, significantly sharper quantitative estimates on rational univariate representations of roots of polynomial systems. As a corollary of the latter bounds, we considerably improve a recent algorithm of Koiran for deciding the emptiness of a hypersurface intersection over the complex numbers, given the truth of the Generalized Riemann Hypothesis (GRH).

研究动机与目标

• 开发一种计算代数集复维数的确定性算法，以克服先前文献中缺乏高效非随机方法的不足。
• 提供多项式系统根的有理化单变量表示（RUR）的更紧定量估计，以实现更精确的复杂度分析。
• 在广义黎曼假设（GRH）下改进Koiran的条件算法，用于判断复超曲面交集的空性。
• 在GRH下推导出显式的、比特大小有界的常数 $a_F$ 和 $A_F$，以控制系统在模哪些素数有根的密度。
• 建立一个在输入多项式稀疏规模下为次二次的维数计算复杂度界。

提出的方法

• 该算法通过输入多项式指数向量的凸包体积 $V_F$，使用算术运算计算复维数 $\dim Z_F$。
• 它采用有理化单变量表示（RUR）将多元多项式组约化为一个次数受 $V_F$ 限制的单变量多项式 $h_F$。
• 该方法利用切博塔列夫密度定理的有效版本和Oesterlé的显式界，估计系统在模哪些素数有根的分布。
• 它应用广义黎曼假设（GRH），以确保对足够大的 $t$，在区间 $(A_F t^3, A_F (t+1)^3)$ 中存在一个素数 $p$，使得系统在模 $p$ 下有根。
• 通过控制代数数的判别式和对数高度的界，来控制关键参数 $a_F$ 和 $A_F$ 的比特大小。
• 通过 $h_F$ 的无平方部分约化进行技术性修正，以处理判别式为零的情况，确保密度估计的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种确定性算法，使复维数的计算复杂度界与近期随机化算法相当？
• RQ2 多项式系统有理化单变量表示（RUR）的最紧可能定量界是什么？
• RQ3 如何改进Koiran基于GRH的素性密度方法，以获得在 $\mathbb{C}$ 上可行性测试的显式、有效常数？
• RQ4 在稀疏输入规模和几何不变量 $V_F$ 的术语下，计算 $\dim Z_F$ 的精确比特大小复杂度是什么？
• RQ5 能否在GRH下推导出显式常数 $a_F$ 和 $A_F$，使得当系统不可满足时，仅有有限多个 $p$ 使得系统在模 $p$ 下有根；当系统可满足时，使得在正密度的 $p$ 下系统有根？

主要发现

• 该算法在 $\mathcal{O}(n^{2.312} \cdot 11^n \cdot k \cdot V_F^{7.376})$ 次算术运算内计算 $\dim Z_F$，其中 $k$ 为单项式项的总数，$V_F$ 为指数向量凸包的体积。
• 常数 $a_F$ 和 $A_F$ 的比特大小均为 $\mathcal{O}(n \log D + \log \sigma(F))$，在输入的稀疏规模下为次二次。
• 常数 $A_F$ 显式有界为 $\mathcal{O}\left(\left[\frac{e^n}{\sqrt{n}} V_F (\sigma(F) + m(n \log D + \log m))\right]^4\right)$，确保了有效素性测试区间的可行性。
• 常数 $a_F$ 的界为 $\mathcal{O}(n^3 D V_F (4^n D \log D + \sigma(F) + \log m))$，量化了不可满足系统可能在模哪些素数有根的素数个数。
• 证明表明，当 $t \geq 4963041$ 时，在区间 $(A_F t^3, A_F (t+1)^3)$ 中至少存在一个素数 $p$，使得若 $Z_F$ 在 $\mathbb{C}$ 上非空，则系统在模 $p$ 下有根，该结论在GRH下成立。
• 该框架产生了一个改进的Koiran算法版本，具有显式、有效的界，从而改进了在 $\mathbb{C}$ 上判断超曲面空性的条件复杂度。