[论文解读] Computing control invariant sets in high dimension is easy

Mirko Fiacchini, Mazen Alamir|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2018

Advanced Control Systems Optimization参考文献 22被引用 9

一句话总结

该论文提出了一种新颖的方法，通过将不变性条件表述为涉及N步集的线性规划（LP）可行性问题，避免了计算成本高昂的闵可夫斯基和与顶点枚举，从而在高维线性系统中计算控制不变集。该方法在30个状态和15个输入的系统中实现了可扩展、高效的近似计算，通过数值例子展示了低保守性和高可扩展性。

ABSTRACT

In this paper we consider the problem of computing control invariant sets for linear controlled high-dimensional systems with constraints on the input and on the states. Set inclusions conditions for control invariance are presented that involve the N-step sets and are posed in form of linear programming problems. Such conditions allow to overcome the complexity limitation inherent to the set addition and vertices enumeration and can be applied also to high dimensional systems. The efficiency and scalability of the method are illustrated by computing approximations of the maximal control invariant set, based on the 10-step operator, for a system whose state and input dimensions are 30 and 15, respectively.

研究动机与目标

• 解决在具有状态和输入约束的高维线性系统中计算控制不变集的计算不可行性问题。
• 克服基于闵可夫斯基和与顶点枚举的传统方法在维度增加时可扩展性差的局限性。
• 提出一种控制不变性的集合包含条件，避免显式计算多面体集合或其顶点。
• 通过凸优化实现高维系统中控制不变集的实际计算。
• 在30状态、15输入的系统上展示该方法的可扩展性和低保守性。

提出的方法

• 该方法将控制不变性表述为涉及N步可达集的集合包含条件，避免显式计算闵可夫斯基和。
• 它将不变性条件表示为可高效求解的线性规划（LP）可行性问题，即使在高维情况下亦可适用。
• 该方法基于10步集的N步算子，用于近似计算最大控制不变集。
• 它利用多面体约束的结构，通过直接处理不等式避免顶点枚举。
• 通过非奇异变换将30维系统分解为15个解耦的2维子系统，进而应用该方法。
• 最终的不变集作为2维不变集的笛卡尔积计算，再变换回原始坐标系。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖闵可夫斯基和或顶点枚举的前提下，高效计算高维线性系统中的控制不变集？
• RQ2 是否能够将控制不变性条件表述为可扩展至高维的凸优化问题？
• RQ3 N步算子方法在高维系统中对最大控制不变集的近似质量如何？
• RQ4 该方法是否可应用于具有全密集系统矩阵且无稀疏结构的系统？
• RQ5 随着N在N步算子中增加，基于LP的方法的收敛行为和保守性如何？

主要发现

• 所提出的方法通过LP可行性问题计算控制不变集，使高维系统（如30状态、15输入系统）中的计算变得高效。
• 该方法避免了闵可夫斯基和与顶点枚举的NP难复杂度，使其在高维下具有可扩展性。
• 在30维系统中，当N=10时，该方法实现了rΩ/rΣ ≈ 0.95（平均值），表明对真实最大不变集有良好近似。
• 当以原点初始化时，该方法从内部收敛至最大控制不变集，且最多在5次迭代内完成收敛。
• 该方法表现出低保守性，计算所得集合覆盖了真实最大不变集的大部分区域，经射线相交分析验证。