[论文解读] Computing control invariant sets is easy

Mirko Fiacchini, Mazen Alamir|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2017

Aerospace Engineering and Control Systems被引用 10

一句话总结

本文提出一种新方法，通过将N步集合包含条件重新表述为线性规划（LP）可行性问题，绕过计算成本高昂的闵可夫斯基和，从而高效计算具有状态和输入约束的线性系统的控制不变集。该方法实现了高维控制不变集的高效、可扩展计算——在15步时域内，仅用不到2秒即近似计算出一个20状态、10输入系统的最大不变集。

ABSTRACT

In this paper we consider the problem of computing control invariant sets for linear controlled systems with constraints on the input and on the states. We focus in particular on the complexity of the computation of the N-step operator, given by the Minkowski addition of sets, that is the basis of many of the iterative procedures for obtaining control invariant sets. Set inclusions conditions for control invariance are presented that involve the N-step sets and are posed in form of linear programming problems. Such conditions are employed in algorithms based on LP problems that allow to overcome the complexity limitation inherent to the set addition and can be applied also to high dimensional systems. The efficiency and scalability of the method are illustrated by computing in less than two seconds an approximation of the maximal control invariant set, based on the 15-step operator, for a system whose state and input dimensions are 20 and 10 respectively.

研究动机与目标

• 解决在高维线性系统中显式计算Minkowski和以获得N步控制不变集时的计算复杂性问题。
• 克服基于单步向后算子和闵可夫斯基和的传统迭代方法在可扩展性方面的局限性。
• 开发一种避免显式集合加法的方法，同时保持精度并收敛至最大控制不变集。
• 实现在高维系统（如20状态、10输入系统）中控制不变集计算的实际应用，而此前的方法因计算不可行而失效。
• 提供一种可扩展、低保守性的替代方案，以替代现有固定多面体复杂度或使用椭球近似的做法。

提出的方法

• 将控制不变性条件表述为涉及N步可到达集的集合包含关系，从而避免显式计算闵可夫斯基和。
• 将不变性条件建模为线性规划（LP）可行性问题，即使在高维情况下也具有计算可处理性。
• 将控制不变集构造为k步集的凸包，通过线性不等式系统表示。
• 利用基于LP的条件验证候选集合是否为控制不变集，而无需计算完整的闵可夫斯基和。
• 利用块对角系统的结构，将高维问题分解为更小、更易处理的子问题。
• 使用标准优化工具（YALMIP和MOSEK）实现算法，高效求解LP问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不显式计算闵可夫斯基和的情况下，降低控制不变集算法中N步集合计算的计算复杂性？
• RQ2 是否可能通过一种避免NP难的闵可夫斯基和运算的集合包含条件来验证控制不变性？
• RQ3 基于LP的公式是否可以替代高维线性系统中基于闵可夫斯基和的传统迭代方法？
• RQ4 该方法在高状态维数和高输入维数系统中的可扩展性如何？
• RQ5 与现有方法（如椭球近似或固定复杂度多面体近似）相比，该方法在多大程度上降低了保守性？

主要发现

• 所提方法在15步时域内，仅用不到2秒即计算出20状态、10输入线性系统最大不变集的外逼近。
• 基于LP的方法具有高效可扩展性，求解时间仅适度增加：N=3时为0.9秒，N=15时为1.71秒，尽管LP变量数线性增加（从10,002增至115,602）。
• 随着N增大，外逼近与真实最大不变集的比值（rΩ/rΣ）趋近于1.0，表明保守性低——例如在N=15时，90%的射线满足rΩ/rΣ > 0.9。
• 通过将不变性条件重新表述为LP可行性问题，该方法避免了闵可夫斯基和计算的NP复杂性。
• 该方法适用于高维系统，如10×2D块对角系统，其最大不变集为子系统集合的笛卡尔积。
• 该算法从原点出发，从内部收敛至最大控制不变集，通过LP重构保持计算可处理性。