[论文解读] Computing Critical Pairs in 2-Dimensional Rewriting Systems

Samuel Mimram|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2010

semigroups and automata theory被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的算法，用于在二维重写系统中计算临界对，特别针对呈现2-范畴的3-多图。通过将归一化技术适配到单体范畴中的紧致上下文，该方法在有限时间内生成所有临界对，从而实现高维重写系统中的连通性证明，并通过一个可用的OCaml实现展示了其在已知示例中的有效性。

ABSTRACT

Rewriting systems on words are very useful in the study of monoids. In good cases, they give finite presentations of the monoids, allowing their manipulation by a computer. Even better, when the presentation is confluent and terminating, they provide one with a notion of canonical representative for the elements of the presented monoid. Polygraphs are a higher-dimensional generalization of this notion of presentation, from the setting of monoids to the much more general setting of n-categories. Here, we are interested in proving confluence for polygraphs presenting 2-categories, which can be seen as a generalization of term rewriting systems. For this purpose, we propose an adaptation of the usual algorithm for computing critical pairs. Interestingly, this framework is much richer than term rewriting systems and requires the elaboration of a new theoretical framework for representing critical pairs, based on contexts in compact 2-categories.

研究动机与目标

• 将经典的临界对算法从项重写扩展到3-多图呈现2-范畴的上下文中的二维重写系统。
• 解决在传统基于项的方法因非卡氏单体结构而失效的高维代数结构中的连通性挑战。
• 开发一种基于归一化的框架，以处理多输入多输出、不可复制的变量，以及通过弦图实现的平面图形表示。
• 为验证单体范畴及相关代数结构中的连通性，提供理论与计算基础。
• 实现对复杂重写系统（如对称群或类似电路的算子）中连通性的实际验证。

提出的方法

• 通过将重写规则建模为包含0-、1-和2-胞腔的紧致二维上下文，将经典的临界对计算算法适配到2-范畴。
• 引入一种非确定性归一化算法，可在1-胞腔边界上传播匹配约束，并通过上下文变量处理悬空边。
• 使用合并操作组合兼容的1-胞腔组件，失败条件基于标签和卷绕数的兼容性。
• 采用类型系统追踪归一化进度，区分活动对（T）、归一化结果（U）以及传播过程中引入的新生成元（ω）。
• 使用弦图和紧致网络表示态射，以可视化重写步骤和上下文结构。
• 在OCaml中实现该算法，代码少于2000行，成功从已知示例（如双射范畴）中恢复临界对。

实验结果

研究问题

• RQ1 在变量无法自由复制或擦除的二维重写系统中，如何系统地计算临界对？
• RQ2 项重写中的基于归一化的临界对算法应如何推广到呈现2-范畴的3-多图设置中？
• RQ3 如何利用单体范畴中的紧致上下文以保留连通性信息的方式表示并计算临界对？
• RQ4 该算法在何种理论与计算条件下可终止并生成所有临界对？
• RQ5 紧致上下文上的连通性在多大程度上能推出整个2-范畴的连通性？在何种情况下可能失败？

主要发现

• 该算法可终止并生成所有紧致上下文中的临界对，尽管在完整2-范畴中临界对可能无穷多，但紧致上下文中的临界对数量有限。
• 该方法成功恢复了已知重写系统（如有限双射范畴Bij的呈现）的临界对。
• OCaml实现的运行时间在典型示例中低于1秒，表明其在理论复杂性较高的情况下仍具有良好的实际性能。
• 通过上下文感知的归一化，该算法正确处理了非卡氏单体结构，通过区分可复制与不可复制变量。
• 临界对通过1-胞腔组件的非确定性传播与合并计算，失败条件基于标签和卷绕数不匹配。
• 该框架揭示了紧致上下文上的连通性并不意味着整个2-范畴的连通性，这与显式替换的λ演算中的已知现象一致。