[论文解读] Computing Dense and Sparse Subgraphs of Weakly Closed Graphs

Tomohiro Koana, Christian Komusiewicz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Graph Theory Research被引用 2

一句话总结

本文提出了在弱γ-闭图（weakly γ-closed graphs）中寻找密集和稀疏子图的固定参数可追踪（FPT）算法，这类图推广了退化性和闭包性。研究证明，当以γ为参数时，团枚举、双团检测、s-团以及支配集变体等问题均为FPT，具有高效的核化和更优的运行时间，同时为独立支配集问题证明了核化下界。

ABSTRACT

A graph G is weakly γ-closed if every induced subgraph of G contains one vertex v such that for each non-neighbor u of v it holds that |N(u)∩ N(v)| < γ. The weak closure γ(G) of a graph, recently introduced by Fox et al. [SIAM J. Comp. 2020], is the smallest number such that G is weakly γ-closed. This graph parameter is never larger than the degeneracy (plus one) and can be significantly smaller. Extending the work of Fox et al. [SIAM J. Comp. 2020] on clique enumeration, we show that several problems related to finding dense subgraphs, such as the enumeration of bicliques and s-plexes, are fixed-parameter tractable with respect to γ(G). Moreover, we show that the problem of determining whether a weakly γ-closed graph G has a subgraph on at least k vertices that belongs to a graph class 𝒢 which is closed under taking subgraphs admits a kernel with at most γ k² vertices. Finally, we provide fixed-parameter algorithms for Independent Dominating Set and Dominating Clique when parameterized by γ+k where k is the solution size.

研究动机与目标

• 将弱γ-闭图的算法效用从团枚举扩展到更广泛的密集与稀疏子图问题类别。
• 在γ参数化下，为独立支配集、支配团和双团枚举等关键NP难问题建立固定参数可追踪性。
• 针对在诱导子图下封闭的子图问题，提供以γ和解大小k为参数的紧致核化结果。
• 探索核化的极限，证明在标准假设下，独立支配集在常数γ下不具有多项式核。
• 研究弱闭图中团松弛问题（如s-Club）的复杂性，特别关注s ≥ 2的情形。

提出的方法

• 提出一种弱闭序σ，确保每个诱导子图中均存在一个顶点，其与任一非邻居的公共邻居数少于γ。
• 设计一种递归搜索树算法用于支配团问题，每个节点的分支因子至多为γ−1，从而实现O*( (γ−1)^k )的运行时间。
• 采用基于弱闭性的深度有界搜索树并结合剪枝策略，高效枚举密集子图（如团和s-团）。
• 应用核化技术，将在诱导子图下封闭的子图问题实例缩减至至多γk²个顶点。
• 利用从λ-击中集问题的归约，基于标准复杂性假设，证明独立支配集的核化下界。
• 分析弱闭图中s-Club问题的复杂性，证明2-Club在4-闭图中仍是NP难的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱γ-闭图中，与寻找密集或稀疏子图相关的问题是否可高效求解？其参数化复杂性如何？
• RQ2 弱闭参数γ是否能为独立支配集和支配团等问题提供核化？此类核的极限是什么？
• RQ3 在弱γ-闭图中，s-Club等团松弛问题是否为固定参数可追踪的，特别是对较小的s？
• RQ4 与退化性或闭包数相比，弱闭参数γ能否用于设计更快的双团和s-团枚举算法？
• RQ5 在弱γ-闭图中，对在诱导子图下封闭的子图问题，最紧致的核大小是多少？

主要发现

• 当以γ和k为参数时，寻找属于遗传图类G且至少包含k个顶点的子图问题，可核化为至多γk²个顶点。
• 支配团问题存在FPT算法，运行时间为O*( (γ−1)^k )，该结果在指数时间假设下极不可能被显著改进。
• 在常数γ下，独立支配集不具有多项式核，除非coNP ⊆ NP/poly，表明核化存在本质限制。
• 2-Club在4-闭图中仍是NP难的，表明团松弛问题在弱闭图中仍保持困难。
• 弱闭数γ永远不会大于退化性d+1或闭包数c，使其在算法设计中可能成为更优的参数。
• 对于分裂图和有界团大小的图，已知几乎紧致的核大小分别为k^O(γ)和k^O(γ²)，表明存在进一步核化结果的潜力。