[论文解读] Computing divisorial gonality is hard

Dion Gijswijt|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2015

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 12被引用 13

一句话总结

本文通过从最大独立集问题约化，证明了计算图的除子类gonality是NP难的，并进一步证明其为APX难，表明在Baker-Norine意义下寻找正秩除子的最小度在计算上是难以处理的，甚至无法在常数因子内近似。

ABSTRACT

The gonality gon(G) of a graph G is the smallest degree of a divisor of positive rank in the sense of Baker-Norine. In this note we show that computing gon(G) is NP-hard by a reduction from the maximum independent set problem. The construction shows that computing gon(G) is moreover APX-hard.

研究动机与目标

• 研究确定图的除子类gonality的计算复杂性。
• 通过从最大独立集问题约化，证明计算gon(G)是NP难的。
• 表明计算gon(G)也是APX难的，说明其难以在常数因子内近似。
• 为代数图论和图上除子理论中的算法限制理解做出贡献。

提出的方法

• 作者构建了一种图变换，将最大独立集问题的实例映射为除子类gonality编码了最大独立集大小的图。
• 该构造确保所生成图的gonality等于原图中最大独立集的大小。
• 通过保持独立集问题的NP完全性，该约化证明了计算gonality的NP难性。
• 约化保持近似性，从而确立了APX难性，表明gonality无法在常数因子内近似，除非P = NP。
• 该证明依赖于Baker-Norine意义下除子和秩函数的性质，特别关注最小度的有效除子。

实验结果

研究问题

• RQ1 计算图的除子类gonality是否在计算上是困难的？
• RQ2 能否将计算gonality的问题从另一个已知的NP难问题约化而来？
• RQ3 计算gonality的问题是否难以在常数因子内近似？
• RQ4 最大独立集问题与图的除子类gonality之间有何关系？

主要发现

• 通过从最大独立集问题的单射约化，证明了计算图的除子类gonality是NP难的。
• 该约化保持结构，使得构造图的gonality等于原图中最大独立集的大小。
• 该问题进一步被证明为APX难，表明除非P = NP，否则不存在多项式时间近似方案。
• 该结果为代数图论和芯片下放游戏中的一个基本不变量建立了强大的计算不可约性。