[论文解读] Computing downward closures for stacked counter automata

Georg Zetzsche|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2014

semigroups and automata theory被引用 5

一句话总结

本文提出了一种方法，用于计算堆叠计数器自动机（一种扩展了下推自动机和盲计数器自动机的自动机类）的向下封闭性——即语言的所有子词构成的正则抽象。关键贡献在于引入了帕里克标注（Parikh annotations），这是一种新颖的技术，能够有效计算向下封闭性，并证明由交替半线性约束和代数扩展形成的语言层次结构的严格性。

ABSTRACT

The downward closure of a language $L$ of words is the set of all (not necessarily contiguous) subwords of members of $L$. It is well known that the downward closure of any language is regular. Although the downward closure seems to be a promising abstraction, there are only few language classes for which an automaton for the downward closure is known to be computable. It is shown here that for stacked counter automata, the downward closure is computable. Stacked counter automata are finite automata with a storage mechanism obtained by \emph{adding blind counters} and \emph{building stacks}. Hence, they generalize pushdown and blind counter automata. The class of languages accepted by these automata are precisely those in the hierarchy obtained from the context-free languages by alternating two closure operators: imposing semilinear constraints and taking the algebraic extension. The main tool for computing downward closures is the new concept of Parikh annotations. As a second application of Parikh annotations, it is shown that the hierarchy above is strict at every level.

研究动机与目标

• 解决在一般情况下不可判定的复杂自动机类中计算向下封闭性的问题。
• 建立堆叠计数器自动机类的向下封闭性可计算性，该类是下推自动机和盲计数器自动机的推广。
• 通过所提出的方法，证明由交替半线性约束和代数扩展形成的语言层次结构在每一级都是严格递增的。
• 提供一种新的理论工具——帕里克标注，用于在形式语言理论中分析和计算向下封闭性。

提出的方法

• 引入帕里克标注作为追踪和操作具有复杂存储结构的自动机中单词帕里克图像的机制。
• 使用帕里克标注构造表示堆叠计数器自动机所接受语言的向下封闭性的有限自动机。
• 将帕里克标注的概念应用于证明由交替半线性约束和代数扩展形成的语言层次结构在每一级都是严格递增的。
• 利用同态映射和有界推导树分析与语言相关的语法中推导的结构。
• 利用语言类的封闭性质，包括并集封闭性和全半自动机语言族（full semi-AFL）性质，在反证法中导出矛盾。
• 使用k-爆发语法（k-bursting grammars）将推导树结构与帕里克图像关联，以对单词生成施加约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否有效计算堆叠计数器自动机（一种具有嵌套栈和盲计数器的自动机类）的向下封闭性？
• RQ2 由交替半线性约束和代数扩展形成的语言层次结构是否在每一级都是严格递增的？
• RQ3 帕里克标注能否作为分析和计算形式语言类中向下封闭性的通用工具？
• RQ4 帕里克图像与该层次结构中语言的语法推导树结构之间存在何种关系？
• RQ5 是否存在某些语言类，尽管其相关系统的可达性问题不可判定，但其向下封闭性仍可计算？

主要发现

• 堆叠计数器自动机的向下封闭性是可计算的，扩展了已知的上下文无关语言和佩特里网语言的结果。
• 帕里克标注为具有复杂存储机制的自动机提供了新颖且有效的向下封闭性计算方法。
• 由交替半线性约束和代数扩展形成的语言层次结构在每一级都是严格递增的，该结论通过帕里克标注得到证明。
• 任何语言的向下封闭性都是正则的，本文表明对于堆叠计数器自动机，可有效构造出该封闭性的有限自动机。
• 严格性证明依赖于构造无法被层次结构较低级别捕获的语言，利用推导树性质和帕里克图像约束。
• 该方法表明，层次结构中的某些语言无法由低级别语法生成，即使在限制于特定子字母表和同态映射的情况下也是如此。