[论文解读] Computing eigenvalues of diagonalizable matrices in a quantum computer

Changpeng Shao|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

本文提出两种量子算法，利用量子相位估计算法（QPE）、量子常微分方程（ODE）求解和量子奇异值估计算法（QSVE），计算具有实数或复数特征值的可对角化矩阵的特征值。算法以精度 ε 输出特征值与特征向量的叠加态，对于实特征值可对角化矩阵，复杂度为 𝒪̃(sρ²κ²/ε²)；对于正规矩阵，复杂度为 𝒪̃(sρ‖M‖_max/ε²)，其中 s 为稀疏度，ρ 为特征值的有界值，κ 为条件数。

ABSTRACT

Solving linear systems and computing eigenvalues are two fundamental problems in linear algebra. For solving linear systems, many efficient quantum algorithms have been discovered. For computing eigenvalues, currently, we have efficient quantum algorithms for Hermitian and unitary matrices. However, the general case is far from fully understood. Combining quantum phase estimation, quantum algorithm to solve linear differential equations and quantum singular value estimation, we propose two quantum algorithms to compute the eigenvalues of diagonalizable matrices that only have real eigenvalues and normal matrices. The output of the quantum algorithms is a superposition of the eigenvalues and the corresponding eigenvectors. The complexities are dominated by solving a linear system of ODEs and performing quantum singular value estimation, which usually can be solved efficiently in a quantum computer. In the special case when the matrix $M$ is $s$-sparse, the complexity is $\widetilde{O}(sρ^2 κ^2/ε^2)$ for diagonalizable matrices that only have real eigenvalues, and $\widetilde{O}(sρ\|M\|_{\max} /ε^2)$ for normal matrices. Here $ρ$ is an upper bound of the eigenvalues, $κ$ is the conditioning of the eigenvalue problem, and $ε$ is the precision to approximate the eigenvalues. We also extend the quantum algorithm to diagonalizable matrices with complex eigenvalues under an extra assumption.

研究动机与目标

• 开发高效量子算法，用于计算一般可对角化矩阵的特征值，扩展至非厄米和非酉情形。
• 填补非厄米矩阵（特别是可对角化但非正规矩阵）在量子算法方面的空白。
• 实现作为特征对叠加态的量子特征值分解，以支持矩阵的量子函数计算。
• 实现高精度特征值估计算法，且复杂度可扩展至稀疏矩阵。
• 在特征向量矩阵条件数满足附加假设的前提下，将结果推广至具有复特征值的矩阵。

提出的方法

• 以量子相位估计算法（QPE）为框架，通过 ODE 模拟而非哈密顿量模拟，将其适配于非厄米矩阵。
• 使用求解线性 ODE 系统的量子算法，将 ODE d𝐱(t)/dt = iM𝐱(t) 离散化为线性系统。
• 应用量子奇异值估计算法（QSVE）从 ODE 系统的解中提取特征值信息。
• 通过结合 ODE 解与相位估计算法技术，构建编码特征值与特征向量的量子态。
• 利用块编码与稀疏矩阵访问，实现对 s-稀疏矩阵的高效实现。
• 引入对特征向量矩阵条件数的辅助假设，以将结果推广至复特征值情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法能否高效计算非厄米或非酉的可对角化矩阵的特征值？
• RQ2 当 e^{iMt} 非酉时，如何将量子相位估计算法适配于非厄米矩阵？
• RQ3 利用量子 ODE 求解与 QSVE 计算实特征值可对角化矩阵的特征值，其复杂度为何？
• RQ4 该方法能否推广至正规矩阵及具有复特征值的可对角化矩阵？
• RQ5 该算法在稀疏度、特征值大小、条件数与精度方面的缩放行为如何？

主要发现

• 对于仅含实特征值的 s-稀疏可对角化矩阵，算法复杂度为 𝒪̃(sρ²κ²/ε²)，其中 ρ 有界特征值，κ 为特征值问题的条件数。
• 对于正规矩阵，复杂度为 𝒪̃(sρ‖M‖_max/ε²)，显示出对谱范数更优的依赖关系。
• 算法输出叠加态 ∑ⱼ βⱼ |λ̃Ɐ⟩|Eⱼ⟩，满足 |λⱼ - λ̃ⱼ| ≤ ε，实现高精度特征值估计。
• 通过使用 ODE 模拟而非哈密顿量模拟，该方法将量子相位估计推广至非厄米矩阵。
• 当特征对以叠加态已知时，该方法可通过 f(M)|b⟩ = ∑ⱼ βⱼ f(λⱯ)|EⱯ⟩ 实现矩阵的量子函数计算。
• 在特征向量矩阵条件数满足附加假设的前提下，该方法可扩展至具有复特征值的可对角化矩阵。