[论文解读] Computing eigenvalues of matrices in a quantum computer

Changpeng Shao|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出了一种量子算法，通过结合量子相位估计算法、量子奇异值估计算法和量子线性系统求解器，计算可对角化矩阵（特别是具有实特征值的矩阵和正规矩阵）的特征值。该算法输出一个编码了特征值和特征向量的量子态，其复杂度在稀疏性和条件数约束下随矩阵规模呈多对数级增长。

ABSTRACT

Eigenproblem arises in a large number of disciplines of sciences and engineering. Combining quantum algorithms to solve linear differential equations, quantum singular value estimation and quantum phase estimation, we propose quantum algorithms to compute the eigenvalues of diagonalizable matrices of two types: matrices that only have real eigenvalues and normal matrices. The quantum algorithms return a quantum state such that the first register stores eigenvalues and the second register stores the corresponding eigenvectors. For normal matrices, the complexity to obtain this quantum state is dominated by the complexity to perform quantum singular value estimation. For the other case, the complexity is determined by the solving of a linear system of differential equations. Under certain conditions (e.g. sparse), the complexities are polylog on the size $n$ of the given matrix. If we perform measurements, then we can obtain all the eigenvalues classically. If $M$ is $s$ sparse, then the complexity is $\widetilde{O}(sn\|M\|_{\max}\kappa^2/\epsilon^2)$, where $\kappa$ is the condition number of the matrix of eigenvectors.

研究动机与目标

• 开发高效的量子算法，用于计算可对角化矩阵的特征值。
• 通过利用量子线性系统求解器和相位估计，在量子计算中解决特征值问题。
• 通过利用量子奇异值估计算法和微分方程求解，实现稀疏矩阵的低计算复杂度。
• 通过测量输出的量子态，实现所有特征值的经典提取。
• 建立依赖于稀疏性、条件数和精度的复杂度边界。

提出的方法

• 该算法使用量子相位估计算法从矩阵的特征向量中提取特征值。
• 对于正规矩阵，量子奇异值估计算法是决定复杂度的主要部分。
• 对于实特征值矩阵，该方法依赖于使用量子算法求解线性微分方程组。
• 输出为一个量子态，其中第一个寄存器编码特征值，第二个寄存器编码对应的特征向量。
• 该算法假设矩阵是稀疏的，并使用条件数和最大范数来限制误差和运行时间。
• 通过参数 ε 控制精度和准确性，复杂度按 Õ(sn∥M∥maxκ²/ε²) 缩放。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法能否以矩阵规模的多对数复杂度高效计算可对角化矩阵的特征值？
• RQ2 在量子设置下，特征值计算的复杂度如何随稀疏性和条件数变化？
• RQ3 量子相位估计算法和量子奇异值估计算法在求解矩阵特征值问题中起什么作用？
• RQ4 能否通过测量编码特征值和特征向量的量子态，实现所有特征值的经典提取？
• RQ5 在稀疏性和有界条件数等现实假设下，所提算法的运行时间边界是什么？

主要发现

• 对于 s-稀疏矩阵，该算法的复杂度为 Õ(sn∥M∥maxκ²/ε²)，其中 s 为稀疏性，∥M∥max 为最大绝对值元素，κ 为特征向量矩阵的条件数，ε 为期望精度。
• 对于正规矩阵，复杂度由量子奇异值估计算法主导，从而实现高效的特征值计算。
• 对于实特征值矩阵，复杂度由使用量子方法求解线性微分方程组决定。
• 输出为一个量子态，其中第一个寄存器编码特征值，第二个寄存器编码对应的特征向量。
• 对输出态的测量可实现所有特征值的经典获取。
• 在给定假设下，复杂度随矩阵规模 n 呈多对数级增长，表明在稀疏矩阵上相比经典方法具有显著加速优势。