[论文解读] Computing endomorphism rings of Jacobians of genus 2 curves over finite fields

David Freeman, Kristin Lauter|ArXiv.org|Jan 10, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

本文提出了高效的概率算法，用于计算有限域上二型曲线雅可比簇的自同态环，从而实现了 Eisenträger 与 Lauter 的中国剩余定理（CRT）算法在计算 Igusa 类多项式方面的首次实际实现。令人惊讶的是，自同态环的计算并非性能瓶颈——通过 Mestre 算法生成 $p^3$ 条曲线占用了主要运行时间，即使对数千条曲线进行自同态检查也仅耗时数秒。

ABSTRACT

We present algorithms which, given a genus 2 curve $C$ defined over a finite field and a quartic CM field $K$, determine whether the endomorphism ring of the Jacobian $J$ of $C$ is the full ring of integers in $K$. In particular, we present probabilistic algorithms for computing the field of definition of, and the action of Frobenius on, the subgroups $J[\ell^d]$ for prime powers $\ell^d$. We use these algorithms to create the first implementation of Eisenträger and Lauter's algorithm for computing Igusa class polynomials via the Chinese Remainder Theorem \cite{el}, and we demonstrate the algorithm for a few small examples. We observe that in practice the running time of the CRT algorithm is dominated not by the endomorphism ring computation but rather by the need to compute $p^3$ curves for many small primes $p$.

研究动机与目标

• 开发用于计算有限域上二型曲线雅可比簇自同态环的实用算法。
• 实现并测试 Eisenträger 与 Lauter 基于中国剩余定理的算法，用于计算 Igusa 类多项式。
• 解决长期以来关于自同态环计算在二型类多项式计算中为性能瓶颈的假设。
• 证明在实际应用中，曲线生成远比自同态环检查更耗时。

提出的方法

• 使用概率算法测试某雅可比簇的自同态环是否为给定的本原四次 CM 域 $K$ 中的整环。
• 对每条曲线，确定 Frobenius 自同态及其复共轭（Verschiebung），以识别候选自同态。
• 构造形如 $\frac{\pi^k - 1}{\ell}$ 或 $\frac{h_i(\pi)}{\ell^d}$ 的元素 $\alpha_i$，其中 $h_i$ 为三次多项式，以生成 $\mathcal{O}_K$。
• 通过计算 $J[\ell^d]$ 的定义域并验证其在 $\ell$-挠点上的作用，测试每个 $\alpha_i$ 是否为自同态。
• 应用算法 4.3 和 5.1，通过在 $J(\mathbb{F}_{p^k})$ 上计数点来判断形如 $\frac{\pi^k - 1}{\ell}$ 和 $\frac{h_i(\pi)}{\ell^d}$ 的元素是否为自同态。
• 利用中国剩余定理，从多个素数 $p$ 的模 $p$ 数据中重构 Igusa 类多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二型 CRT 算法中，自同态环计算是否为 Igusa 类多项式计算的主要性能瓶颈？
• RQ2 概率算法能否高效判断某雅可比簇的自同态环是否为本原四次 CM 域中的整环？
• RQ3 在 CRT 算法中，自同态环计算的运行时间与曲线生成步骤相比如何？
• RQ4 $J[\ell^d]$ 的定义域在验证自同态结构中起什么作用？
• RQ5 当 $k$ 从 $\ell^3$ 降低至 $\ell^2$ 时，算法 4.3 和 5.1 的理论与实际运行时间如何随 $\ell$ 和 $k$ 变化？

主要发现

• 对于 $K = \mathbb{Q}(i\sqrt{13+2\sqrt{13}})$ 且 $p=157$，生成 $157^3$ 条曲线耗时约 52 分钟，而对 243 条曲线验证自同态环仅耗时 16.5 秒。
• 在 $K = \mathbb{Q}(i\sqrt{29+2\sqrt{29}})$ 且 $\lambda_i = 5^{12}$ 的示例中，完整算法运行了 56,585 秒（约 15.7 小时），其中曲线生成与自同态检查均贡献显著。
• 与曲线生成相比，自同态环计算步骤可忽略不计：对于 $p=157$，曲线生成耗时 3147 秒，而自同态检查仅耗时 16.5 秒。
• 对于 $p=199$，曲线生成耗时 106 分钟，自同态检查耗时 1355.3 秒，表明曲线生成仍为主要成本。
• 理论分析表明，若排除惰性或分歧素数 $\ell$，则当 $k$ 从 $\ell^3$ 降低至 $\ell^2$ 时，算法 4.3 和 5.1 的运行时间可从 $O(p^{12}\log^3 p)$ 优化至 $O(p^8\log^3 p)$。
• 数据表明，整除指数 $[\mathcal{O}_K : \mathbb{Z}[\pi, \overline{\pi}]]$ 的奇素数 $\ell$ 在 $K_0$ 中要么分裂，要么整除指数 $[\mathcal{O}_{K_0} : \mathbb{Z}[\pi + \overline{\pi}]]$，意味着它们既非惰性也非完全分歧。