[论文解读] Computing exact minimum cuts without knowing the graph

Aviad Rubinstein, Tselil Schramm+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用 6

一句话总结

本论文提出了一类随机化、查询高效的算法，用于仅通过返回任意子集割大小的预言机，计算无向无权图中的精确全局最小割和 s-t 最小割。通过利用基于边强度的采样以及对非割边进行策略性收缩，作者实现了全局最小割的 $\tilde{O}(n)$ 次查询和 s-t 最小割的 $\tilde{O}(n^{5/3})$ 次查询——显著低于二次复杂度，且打破了人们普遍认为精确割计算需要 $\tilde{\theta}(n^2)$ 次查询的直觉。

ABSTRACT

We give query-efficient algorithms for the global min-cut and the s-t cut problem in unweighted, undirected graphs. Our oracle model is inspired by the submodular function minimization problem: on query $S \subset V$, the oracle returns the size of the cut between $S$ and $V \setminus S$. We provide algorithms computing an exact minimum $s$-$t$ cut in $G$ with $ ilde{O}(n^{5/3})$ queries, and computing an exact global minimum cut of $G$ with only $ ilde{O}(n)$ queries (while learning the graph requires $ ildeΘ(n^2)$ queries).

研究动机与目标

• 在不掌握完整图结构的前提下，计算无向无权图中的精确全局最小割和 s-t 最小割。
• 最小化对返回任意查询子集割大小的预言机的割查询次数。
• 挑战当前普遍认为精确最小割计算需要 $\tilde{\theta}(n^2)$ 次查询的直觉。
• 设计在不学习整个图的前提下仍能计算精确割的算法。
• 实现精确最小割问题的亚二次查询复杂度，从而突破图学习的信息论下界。

提出的方法

• 使用基于边强度的采样方法对边进行子采样，以保持割的近似性，避免在稀疏连通分量中失效的均匀采样。
• 基于子采样图中高置信度判断‘安全’边（即不跨越最优割的边）进行收缩。
• 在采样前应用随机边收缩的预处理步骤（受 Karger 算法启发），以简化图结构。
• 在流近似图 $H'$ 中收缩 $3\varepsilon n$-连通分量，确保最小割被保留至 $1\pm\varepsilon$ 因子内。
• 收缩后，学习压缩图中剩余的所有边，该图包含 $O(\varepsilon n^2)$ 条边。
• 通过设定 $\varepsilon = n^{-1/3}$ 平衡查询复杂度，使 s-t 割的总查询次数达到 $\tilde{O}(n^{5/3})$，全局最小割的总查询次数达到 $\tilde{O}(n)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以远少于 $\tilde{O}(n^2)$ 次割查询实现精确全局最小割的计算？
• RQ2 当仅能访问割大小预言机时，是否可能以亚二次查询复杂度计算精确 s-t 最小割？
• RQ3 基于边强度的采样能否被适配为以 $o(m)$ 次查询高效子采样图，同时保持割信息？
• RQ4 在流近似图中收缩高连通性分量是否能保留最小割结构？
• RQ5 预处理阶段的随机收缩是否能使后续查询阶段的均匀采样有效？

主要发现

• 一种随机化算法在简单图中仅使用 $\tilde{O}(n)$ 次割查询即可计算出精确的全局最小割。
• 一种随机化算法在简单图中仅使用 $\tilde{O}(n^{5/3})$ 次割查询即可计算出精确的 s-t 最小割。
• 精确 s-t 最小割的查询复杂度为亚二次，与认为 $\tilde{\Omega}(n^2)$ 次查询为必需的猜想相矛盾。
• 算法在多项式时间内运行，两种问题的总运行时间均被 $\tilde{O}(n^2)$ 上界所限制。
• 该方法依赖于一种新颖的基于边强度的采样方式，以及对高连通性分量的收缩，以减少查询负载。
• 通过设定 $\varepsilon = n^{-1/3}$，s-t 最小割的总查询复杂度被平衡至 $\tilde{O}(n^{5/3}}$，从而达到所声称的复杂度界。