[论文解读] Computing Exact Solutions of Consensus Halving and the Borsuk-Ulam Theorem

Argyrios Deligkas, John Fearnley+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2019

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用 5

一句话总结

本文確立了共識平分問題的精確複雜度，顯示在 $n$ 名參與者與 $n$ 刀切割的情況下，尋找精確解是 $\texttt{FIXP}$-難，而判斷是否少於 $n$ 刀切割已足夠則是 $\texttt{ETR}$-完全。本文引入新的複雜度類 $\texttt{BU}$，用以描述可多項式時間歸約至精確求解布勞威爾-烏拉姆定理的問題，並證明 $\texttt{LinearBU} = \texttt{PPA}$，將精確公平分配問題與拓撲不動點原理連結起來。

ABSTRACT

We study the problem of finding an exact solution to the consensus halving problem. While recent work has shown that the approximate version of this problem is PPA-complete, we show that the exact version is much harder. Specifically, finding a solution with $n$ cuts is FIXP-hard, and deciding whether there exists a solution with fewer than $n$ cuts is ETR-complete. We also give a QPTAS for the case where each agent's valuation is a polynomial. Along the way, we define a new complexity class BU, which captures all problems that can be reduced to solving an instance of the Borsuk-Ulam problem exactly. We show that FIXP $\\subseteq$ BU $\\subseteq$ TFETR and that LinearBU $=$ PPA, where LinearBU is the subclass of BU in which the Borsuk-Ulam instance is specified by a linear arithmetic circuit.

研究动机与目标

• 確定在 $n$ 名參與者情況下，尋找共識平分問題精確解的計算複雜度。
• 分析判斷是否存在少於 $n$ 刀切割之解的複雜度。
• 引入並特徵化一個新的複雜度類 $\texttt{BU}$，定義為可多項式時間歸約至精確求解布勞威爾-烏拉姆定理的問題集合。
• 建立拓撲定理與計算複雜度類之間的連結，特別是將 $\texttt{BU}$ 與 $\texttt{FIXP}$ 和 $\texttt{ETR}$ 關聯起來。

提出的方法

• 作者透過將算術電路編碼為參與者的評估函數，將電路評估問題歸約至共識平分實例。
• 他們構造了一個特殊電路，用以計算兩個多項式 $q_1$ 和 $q_2$，並利用 $q_1 = q_2$ 的條件，透過類似布勞威爾-烏拉姆定理的論證來強制解的成立。
• 在電路值與共識平分實例中的切割之間建立了一一對應關係，確保電路的解可導出有效的分割。
• 該構造使用 $4r+1$ 名參與者與 $4r$ 刀切割，以模擬含 $r$ 個閘門的電路，並將電路的輸出嵌入最後一名參與者的評估中。
• 他們證明共識平分實例存在解，當且僅當電路的評估結果為零，從而將問題與實代數系統的可行性連結起來。
• 定義類別 $\texttt{BU}$ 為可多項式時間歸約至精確求解布勞威爾-烏拉姆問題的問題集合，其中 $\texttt{LinearBU}$ 描述線性情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $n$ 名參與者與 $n$ 刀切割的情況下，計算共識平分問題解的精確複雜度為何？
• RQ2 判斷是否存在少於 $n$ 刀切割之解的問題，是否比近似版本更具計算難度？
• RQ3 布勞威爾-烏拉姆定理能否用來定義一個新複雜度類，以捕捉精確公平分配問題？
• RQ4 精確共識平分問題的複雜度與 $\texttt{FIXP}$ 和 $\texttt{ETR}$ 有何關係？
• RQ5 $\texttt{LinearBU}$ 與 $\texttt{PPA}$ 等已知類別之間的關係為何？

主要发现

• $(n,n)$-共識平分問題是 $\texttt{FIXP}$-難，顯示精確解比近似解困難得多。
• 判斷是否存在少於 $n$ 刀切割之解的問題是 $\texttt{ETR}$-完全，顯示其複雜度高於 $\texttt{PPA}$。
• 作者定義了一個新的複雜度類 $\texttt{BU}$，用以捕捉所有可多項式時間歸約至精確求解布勞威爾-烏拉姆定理的問題。
• 證明 $\texttt{LinearBU} = \texttt{PPA}$，確立線性情形下的布勞威爾-烏拉姆問題與 $\texttt{PPA}$ 類之間的緊密連結。
• 類別 $\texttt{BU}$ 滿足 $\texttt{FIXP} \subseteq \texttt{BU} \subseteq \texttt{TFETR}$，暗示其位於 $\texttt{FIXP}$ 與 $\texttt{TFETR}$ 之間。
• 本文提供了強烈證據，顯示 $\texttt{BU}$-完全性可能是由布勞威爾-烏拉姆定理保證存在性，但無法由較弱定理（如布勞威爾不動點定理）保證的問題的自然複雜度類。