[论文解读] Computing Ext for graph algebras

Mark Tomforde|ArXiv.org|Mar 8, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文建立了行有限、无源点图 C*-代数的 Ext 群与矩阵 $A_G - I$ 的余核之间的同构，其中 $A_G$ 是图的顶点矩阵。该同构显式地将 1-源点扩张的类映射到描述源点连接方式的向量，从而实现通过图论数据计算 Ext 类。关键贡献在于为图代数提供了一种可构造的 Ext 计算方法，并由此构造出反例，表明并非所有传递的、行有限的、无源点图 C*-代数都是拟投影的。

ABSTRACT

For a row-finite graph G with no sinks and in which every loop has an exit, we construct an isomorphism between Ext(C*(G)) and coker(A-I), where A is the vertex matrix of G. If c is the class in Ext(C*(G)) associated to a graph obtained by attaching a sink to G, then this isomorphism maps c to the class of a vector which describes how the sink was added. We conclude with an application in which we use this isomorphism to produce an example of a row-finite transitive graph with no sinks whose associated C*-algebra is not semiprojective.

研究动机与目标

• 将 Cuntz 和 Krieger 对 Cuntz-Krieger 代数的 Ext 计算推广到更广泛的图 C*-代数类。
• 为每条环均有出口的行有限、无源点图建立 $\operatorname{Ext}(C^*(G))$ 与 $\operatorname{coker}(A_G - I)$ 之间的显式同构。
• 为该同构下 $\operatorname{Ext}(C^*(G))$ 中 1-源点扩张类的像提供一个可计算的公式。
• 应用该同构构造反例，证明并非所有传递的、行有限的、无源点图 C*-代数都是拟投影的。

提出的方法

• 定义每条环均有出口的行有限、无源点图 $G$ 的顶点矩阵 $A_G$。
• 利用扩张结构与图论数据，构造显式同构 $\omega: \operatorname{Ext}(C^*(G)) \to \operatorname{coker}(A_G - I)$。
• 将 $\operatorname{Ext}(C^*(G))$ 中 1-源点扩张的像表征为描述源点连接方式的向量类，特别是 Wojciech 向量。
• 通过检查某些扩张是否分裂，利用同构分析 $C^*(G)$ 的拟投影性。
• 应用图 C*-代数的普遍性质，将由图同态诱导的图代数之间的同态进行提升。
• 通过假设 $C^*(G)$ 是拟投影的，导出矛盾：即非分裂扩张必须是平凡的，但这与 $\operatorname{coker}(A_G - I)$ 中 Wojciech 向量的非平凡性相矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用底层图的组合数据计算图 C*-代数的 Ext 群？
• RQ2 在 $\operatorname{Ext}(C^*(G))$ 中，1-源点扩张类如何对应于 $\operatorname{coker}(A_G - I)$ 中的一个向量？
• RQ3 是否存在图论特征刻画图 C*-代数为拟投影的条件？
• RQ4 同构 $\omega: \operatorname{Ext}(C^*(G)) \to \operatorname{coker}(A_G - I)$ 是否可用于构造拟投影性的反例？
• RQ5 图的哪些条件可确保 Wojciech 向量位于 $A_G - I$ 的像之外？

主要发现

• 对于任意行有限、无源点且每条环均有出口的图 $G$，Ext 群 $\operatorname{Ext}(C^*(G))$ 同构于 $\operatorname{coker}(A_G - I)$。
• 同构 $\omega$ 将 1-源点扩张的类映射到描述源点连接方式的向量类，特别是 Wojciech 向量。
• 与 1-源点扩张相关的扩张在 $\operatorname{Ext}(C^*(G))$ 中是平凡的，当且仅当 Wojciech 向量属于 $A_G - I$ 的像。
• 本文构造了一个行有限、传递、无源点的图 $G$，其 $C^*$-代数不是拟投影的，方法是证明某个 1-源点扩张是非分裂的。
• 扩张 $E_{n+1}$ 的 Wojciech 向量 $\delta_{w_{n+1}}$ 不在 $A_G - I$ 的像中，因为 $\operatorname{im}(A_G - I)$ 中的所有元素均为偶数，因此 $[\delta_{w_{n+1}}] \neq 0$ 在 $\operatorname{coker}(A_G - I)$ 中。
• 该非平凡性意味着扩张不是分裂的，与拟投影性矛盾，从而证明 $C^*(G)$ 不是拟投影的。