[论文解读] Computing Flowpipe of Nonlinear Hybrid Systems with Numerical Methods

Olivier Bouissou, Alexandre Chapoutot+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2013

Real-time simulation and control systems参考文献 4被引用 4

一句话总结

该论文提出 HySon，一种利用验证数值积分和一种新型保证多项式插值方法，计算非线性混合系统流管的保证超逼近的工具。该方法实现了对复杂非线性系统的精确且高效的可达性分析，在多个基准测试中优于现有工具 Flow* 和 SpaceEx。

ABSTRACT

Modern control-command systems often include controllers that perform nonlinear computations to control a physical system, which can typically be described by an hybrid automaton containing high-dimensional systems of nonlinear differential equations. To prove safety of such systems, one must compute all the reachable sets from a given initial position, which might be uncertain (its value is not precisely known). On linear hybrid systems, efficient and precise techniques exist, but they fail to handle nonlinear flows or jump conditions. In this article, we present a new tool name HySon which computes the flowpipes of both linear and nonlinear hybrid systems using guaranteed generalization of classical efficient numerical simulation methods, including with variable integration step-size. In particular, we present an algorithm for detecting discrete events based on guaranteed interpolation polynomials that turns out to be both precise and efficient. Illustrations of the techniques developed in this article are given on representative examples.

研究动机与目标

• 为具有复杂连续动态和非线性跳跃条件的非线性混合系统，解决缺乏高效且精确的可达性分析技术的问题。
• 克服基于线性化的传统方法在刚性、高维或混沌系统中失效的局限性。
• 开发一种通用工具，支持线性和非线性动态，无需对模型进行简化。
• 实现对包含非线性控制器和物理模型的工业控制-命令系统的安全验证。

提出的方法

• 使用带可变步长的保证显式 Runge-Kutta 积分，结合仿射形式表示集合，对连续轨迹进行超逼近。
• 采用基于 Hermite-Birkhoff 插值的新型保证多项式插值方法，高精度检测零穿越事件（离散跳跃）。
• 应用基于二分的算法计算跳跃时间的紧致包围，避免昂贵的交集运算。
• 使用仿射形式表示状态集合，以在保持精度的同时实现高效的算术运算和超逼近。
• 通过在每个积分步骤检查条件，将不变量和守卫的检测集成到仿真循环中。
• 支持多项式和非多项式动态及守卫，而先前方法受限于线性或多面体形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用仿射形式的保证数值积分能否为非线性混合系统提供精确且高效的流管计算？
• RQ2 保证多项式插值方法能否在非线性系统中检测离散跳跃时优于标准交集法？
• RQ3 HySon 在代表性非线性混合系统上的性能和精度与 Flow* 和 SpaceEx 等现有工具相比如何？
• RQ4 该方法能否在不进行线性化或模型简化的情况下处理复杂、混沌或刚性动态？
• RQ5 该方法是否可行地扩展以支持多个同时发生的零穿越事件和析取性系统行为？

主要发现

• HySon 在所有测试基准上均优于 Flow*，计算时间分别为 4.35 秒（WaterTank）和 26.75 秒（Pendulum），而 Flow* 分别为 316.72 秒和 119.94 秒。
• 在 Lorenz 系统中，HySon 使用固定步长 0.02 实现了高精度，尽管由于需要精细分辨率导致计算时间增加。
• 对于 Brusselator 和 Van-der-Pol 系统，HySon 分别在 14.3 秒和 16.2 秒内完成可达性分析，显著快于 Flow* 的 49.97 秒和 49.17 秒。
• 该工具成功计算了混沌系统（如弹跳球）的流管，证明了其在高度非线性和敏感动态下的鲁棒性。
• HySon 能够处理非多项式守卫和动态（例如包含圆形跳跃条件的 Wolfgram 示例），而 Flow* 因依赖泰勒模型和多面体守卫而失效。
• 在线性基准测试中，HySon 的精度与 SpaceEx 相当，验证了其在处理线性系统时的有效性。