[论文解读] Computing Highly Oscillatory Integrals

Yunyun Ma, Yuesheng Xu|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2015

Mathematical functions and polynomials被引用 3

一句话总结

本文提出了两类用于具有代数奇点和驻点的高振荡积分的复合无矩求积规则。通过根据振荡和奇异性行为对积分区间进行划分，对弱奇异性部分应用graded求积法，对振荡部分采用改进的无矩Filom型方法，实现了无需计算振子逆矩阵的多项式或指数收敛，精度和效率优于现有方法。

ABSTRACT

We develop two classes of composite moment-free numerical quadratures for computing highly oscillatory integrals having integrable singularities and stationary points. The first class of the quadrature rules has a polynomial order of convergence and the second class has an exponential order of convergence. We first modify the moment-free Filon-type method for the oscillatory integrals without a singularity or a stationary point to accelerate their convergence. We then consider the oscillatory integrals without a singularity or a stationary point and then those with singularities and stationary points. The composite quadrature rules are developed based on partitioning the integration domain according to the wave number and the singularity of the integrand. The integral defined on a subinterval has either a weak singularity without rapid oscillation or oscillation without a singularity. The classical quadrature rules for weakly singular integrals using graded points are employed for the singular integral without rapid oscillation and the modified moment-free Filon-type method is used for the oscillatory integrals without a singularity. Unlike the existing methods, the proposed methods do not have to compute the inverse of the oscillator. Numerical experiments are presented to demonstrate the approximation accuracy and the computational efficiency of the proposed methods. Numerical results show that the proposed methods outperform methods published most recently.

研究动机与目标

• 为解决在高波数下传统方法计算成本过高的问题，高效计算具有奇点和驻点的高振荡积分。
• 开发避免计算矩或振子逆矩阵的求积规则，以克服现有Filon型和Levin型方法中的瓶颈。
• 通过根据被积函数的局部行为调整求积节点数量，实现更高阶的收敛速度——多项式或指数收敛。
• 与最先进的方法（如CFCC和FCC公式）相比，提高计算效率和近似精度。
• 提供一种适用于涉及振荡积分的实际问题（如量子化学、层析成像和流体动力学）的鲁棒数值框架。

提出的方法

• 该方法根据波数和奇点、驻点的位置将积分区间划分为子区间，确保每个子区间仅包含弱奇异性而无快速振荡，或仅包含振荡而无奇异性。
• 对于含有弱奇异性的子区间，应用使用graded点的经典求积规则，以处理被积函数的非光滑行为。
• 对于具有快速振荡但无奇异性的子区间，采用改进的无矩Filon型方法，避免计算振子的矩。
• 通过使用固定或可变节点数的分段多项式插值，构建复合求积规则，以实现多项式或指数收敛速率。
• 该方法避免计算非线性振子 $ g $ 的逆矩阵，而这是FCC和CFCC等方法所必需的，从而降低了计算成本。
• 理论收敛性分析得到数值实验的支持，将所提方法与CMFE、FCC和CFCC公式在不同波数和被积函数类型下进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计出复合求积规则，以实现对同时具有奇点和驻点的高振荡积分的高收敛速率？
• RQ2 在无矩Filon型方法中，如何避免计算振子的逆矩阵，同时保持高精度？
• RQ3 基于局部振荡和奇异性行为，如何制定最优的积分区间划分策略，以在精度和计算成本之间取得平衡？
• RQ4 所提出的复合无矩求积规则在精度和效率方面与现有方法（如CFCC和FCC）相比如何？
• RQ5 在非线性情况下，能否在不计算矩或不求振子逆矩阵的前提下实现指数收敛？

主要发现

• 所提出的复合无矩求积规则根据使用固定或可变节点数，可实现多项式或指数收敛速率。
• 数值结果表明，CMFE公式在近似精度上优于CFCC公式，尤其当被积函数具有指数 $ \mu < 0 $ 的奇点和阶数 $ r > 0 $ 的驻点时。
• CMFE方法的CPU时间消耗显著低于FCC和CFCC公式——例如，当 $ \kappa = 10^2 $ 且 $ f_1(x) = 1 $ 时，CMFE仅需3.35e-2秒，而CFCC需2.84e-1秒，尽管CMFE使用了更多的函数评估次数。
• 对于 $ f_2(x) = \ln x $，CMFE公式使用88次函数评估和4.10e-2秒，而CFCC公式使用73次评估和3.90e-1秒，显示出更高的效率。
• CMFE方法无需计算 $ g^{-1} $，与FCC和CFCC方法相比，尤其在非线性振子情况下，显著节省了计算时间。
• 在所有测试案例中，CMFE方法在从 $ 10^2 $ 到 $ 10^7 $ 的广泛波数 $ \kappa $ 范围内均保持高精度，且收敛行为一致。