[论文解读] Computing Hilbert Class Polynomials

Juliana Belding, Reinier Bröker+2 more|ArXiv.org|Feb 7, 2008

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文提出了两种高效计算希爾伯特類多項式的算法：一種是針對慣性素數的p進提升方法，另一種是結合CM曲線上的類群作用優化後的中國剩餘定理（CRT）方法。作者得到了更緊緻的複雜度界限，顯示新CRT方法在GRH下預期時間為 $ O(|D|(\text{log}|D|)^{7+o(1)}) $，啟發式複雜度為 $ O(|D|(\text{log}|D|)^{3+o(1)}) $，與現有方法的最佳已知運行時間相當。

ABSTRACT

We present and analyze two algorithms for computing the Hilbert class polynomial $H_D$ . The first is a p-adic lifting algorithm for inert primes p in the order of discriminant D < 0. The second is an improved Chinese remainder algorithm which uses the class group action on CM-curves over finite fields. Our run time analysis gives tighter bounds for the complexity of all known algorithms for computing $H_D$, and we show that all methods have comparable run times.

研究动机与目标

• 開發針對慣性素數的p進提升演算法，此類素數在GRH下較小且數量更多，適用於計算希爾伯特類多項式。
• 透過引入慣性素數與CM曲線上的類群作用，改進多素數中國剩餘定理方法，以降低計算成本。
• 為所有已知計算希爾伯特類多項式的演算法提供更緊緻的複雜度界限，並顯示各方法之間具有相近的漸近性能。
• 展示基於CRT的方法在實務上的可行性，特別是結合慣性素數時，即使隱含常數較高亦具實用價值。

提出的方法

• 針對慣性素數 $ p $，開發p進提升演算法，利用 $ \mathbb{F}_{p^2} $ 上的超ingular橢圓曲線的標準提升，以 $ p $-進精確度計算 $ j $-不變量。
• 利用有限域上CM曲線的類群作用，透過同源循環與 $ j $-不變量上的群作用，高效計算 $ H_D \bmod p $。
• 使用中國剩餘定理，將多個素數模的結果（包含完全分裂與慣性素數）結合，重建 $ H_D \in \mathbb{Z}[X] $。
• 應用赫恩塞爾引理，將同源循環從 $ \mathbb{F}_{p^2} $ 提升至 $ \mathbb{Q}_p $ 的非分歧擴張 $ L $，以計算 $ j $-不變量的 $ p $-進近似。
• 使用牛頓恆等式，在 $ p $-進提升過程中更新根的初等對稱和，以實現多項式重構。
• 該方法利用了類群在CM曲線 $ j $-不變量集合上自由且傳遞作用的事實，確保從單一提升即可生成所有共軛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否有效構建針對慣性素數的p進提升演算法？此類素數在GRH下較小且更為常見，適用於計算希爾伯特類多項式。
• RQ2 如何透過引入慣性素數與類群作用，改進中國剩餘定理方法，以降低計算成本？
• RQ3 所有已知方法（包括複分析、p進與基於CRT的方法）計算希爾伯特類多項式的最緊緻複雜度界限為何？
• RQ4 在實務中，基於CRT方法的漸近複雜度中的隱含常數與複分析方法相比如何？

主要发现

• 針對慣性素數的p進提升演算法具有效能，並充分利用了特徵 $ p^2 $ 下超ingular曲線的結構。
• 改進的CRT方法同時整合完全分裂與慣性素數，減少所需素數數量，降低所需最大素數。
• 在廣義黎曼假設（GRH）下，演算法的預期時間為 $ O(|D|(\text{log}|D|)^{7+o(1)}) $。
• 啟發式下，複雜度提升至 $ O(|D|(\text{log}|D|)^{3+o(1)}) $，與其他方法的最佳已知界限一致。
• 該方法成功使用僅16位 $ p $-進數字計算 $ H_{-56} $，恢復出次數為4的多項式，其係數達23位十進位數。
• 對於 $ D = -108708 $，結合慣性素數的CRT方法將所需曲線數量從487,237減少至381,073，計算時間由18.5秒降至14.2秒（在2.2 GHz Athlon-64處理器上）。