[论文解读] Computing homology and persistent homology using iterated Morse decomposition

Paweł Dłotko, Hubert Wagner|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2012

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 20被引用 12

一句话总结

本文提出了一种基于图论的新型算法，通过迭代离散莫射分解，在域系数下计算同调与持久同调。该方法通过递归应用离散莫射理论，利用匹配的胞射对简化链复形，避免了矩阵约化，转而依赖迭代图操作，从而在任意维度下实现可证明正确的同调计算，并具备可扩展、可分布实现的潜力。

ABSTRACT

In this paper we present a new approach to computing homology (with field coefficients) and persistent homology. We use concepts from discrete Morse theory, to provide an algorithm which can be expressed solely in terms of simple graph theoretical operations. We use iterated Morse decomposition, which allows us to sidetrack many problems related to the standard discrete Morse theory. In particular, this approach is provably correct in any dimension.

研究动机与目标

• 开发一种可扩展、维度无关的算法，用于在域系数下计算同调与持久同调。
• 克服标准矩阵约化方法的局限性，尤其是在高维与大规模数据集中的表现。
• 提供一个利用高效图算法进行拓扑数据分析的框架。
• 将离散莫射理论推广至过滤复形，以实现持久同调的计算。

提出的方法

• 该方法使用迭代莫射分解，通过链复形中匹配的胞射对递归构建莫射复形。
• 以保留同调的方式应用离散莫射理论，通过坍缩胞对并利用V-路径追踪边界映射。
• 该算法完全通过图论操作实现——匹配、遍历与边更新——避免使用矩阵代数。
• 该过程迭代执行：每个莫射复形作为下一轮迭代的输入，直至仅剩临界胞射。
• 对于持久同调，该方法按过滤层级逐层处理，报告每个层级上匹配形成时的持久区间。
• 该方法基于Kozlov对离散莫射理论的扩展，以及Mischaikow与Nanda对过滤的框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 同调计算能否被重新表述为一系列不依赖矩阵约化的图操作？
• RQ2 迭代莫射分解能否在任意维度下保持同调并正确计算持久区间？
• RQ3 该方法在高维或大规模数据集中是否比标准矩阵约化具有更好的可扩展性？
• RQ4 该算法能否利用现有图库实现高效并行化？

主要发现

• 该算法在任意维度下对域系数同调计算具有可证明的正确性，包括单纯复形与立方复形。
• 该方法避免使用史密斯标准型或矩阵约化，转而依赖迭代图匹配与边界计算。
• 该方法通过按顺序处理过滤并报告匹配形成时的区间，自然支持持久同调计算。
• 该算法具有可扩展性与可并行化特性，因其基于标准图操作，可利用现有库高效实现。
• 即使不存在完美莫射复形，该方法仍能正确计算出Dunce帽的同调，结果为单一0维生成元。
• 该框架推广了保持同调的简化方法，或可形式化图像识别中图金字塔的性质。