[论文解读] Computing Igusa class polynomials via the Chinese Remainder Theorem

Kirsten Eisentraeger, Kristin Lauter|arXiv (Cornell University)|May 15, 2004

Coding theory and cryptography参考文献 19被引用 3

一句话总结

本论文提出了一种新颖的算法，利用中国剩余定理（CRT）计算有限域上 genus 2 曲线的 Igusa 类多项式，从而实现高效构造其雅可比簇具有指定点数的曲线。通过在小素数模下计算类多项式并利用 CRT 重构，该方法为传统 CM 方法提供了替代方案，尤其适用于具有本原 CM 型的四次 CM 域，并包含一个用于确定普通 genus 2 雅可比簇的自同态环的算法。

ABSTRACT

We present a new method for constructing genus 2 curves over a finite field with a given number of points on its Jacobian. This method has important applications in cryptography, where groups of prime order are used as the basis for discrete-log based cryptosystems. Our algorithm provides an alternative to the traditional CM method for constructing genus 2 curves. For a quartic CM field K with primitive CM type, we compute the Igusa class polynomials modulo p for certain small primes p and then use the Chinese remainder theorem (CRT) and a bound on the denominators to construct the class polynomials. We also provide an algorithm for determining endomorphism rings of ordinary Jacobians of genus 2 curves over finite fields, generalizing the work of Kohel for elliptic curves.

研究动机与目标

• 开发一种传统 CM 方法的替代方案，用于构造其雅可比簇具有给定点数的 genus 2 曲线。
• 为具有本原 CM 型的四次 CM 域计算 Igusa 类多项式模小素数。
• 利用中国剩余定理和分母界值重构完整的 Igusa 类多项式。
• 将 Kohel 针对椭圆曲线自同态环的算法推广至普通 genus 2 曲线的雅可比簇。
• 支持从 genus 2 雅可比簇导出的素数阶群的密码学应用。

提出的方法

• 该方法针对给定的具有本原 CM 型的四次 CM 域 K，计算其 Igusa 类多项式模小素数 p。
• 利用中国剩余定理，从其模多个小素数的约化形式重构完整的 Igusa 类多项式。
• 利用对类多项式分母的界值，确保在整数上实现精确重构。
• 该算法利用 Igusa 类不变量的结构及其在类群作用下的模形式性质。
• 将椭圆曲线 CM 方法中的技术推广至 genus 2 情形，适应更复杂的 Igusa 类多项式设定。
• 整合一种算法，用于确定有限域上普通 genus 2 曲线雅可比簇的自同态环，推广 Kohel 的方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用模算术与中国剩余定理高效计算 genus 2 曲线的 Igusa 类多项式？
• RQ2 通过 CRT 精确重构 Igusa 类多项式，所需的分母界值是什么？
• RQ3 基于 CRT 的方法在构造具有指定点数的 genus 2 曲线方面，是否能优于或补充传统 CM 方法？
• RQ4 如何算法化地确定普通 genus 2 雅可比簇的自同态环，推广椭圆曲线的结果？
• RQ5 该方法在需要素数阶群的密码学应用中具有哪些计算优势？

主要发现

• 该方法通过模小素数约化并利用中国剩余定理重构，成功计算了 genus 2 曲线的 Igusa 类多项式。
• 分母界值的使用确保了重构多项式在整数上精确，避免了精度问题。
• 该算法为构造其雅可比簇具有给定点数的 genus 2 曲线，提供了传统 CM 方法的可行替代方案。
• 该方法将 Kohel 的自同态环算法推广至 genus 2 情形，实现了对普通雅可比簇自同态环的确定。
• 该方法在具有本原 CM 型的四次 CM 域中尤为有效，此时类多项式在曲线构造中起核心作用。
• 该框架通过支持生成具有素数或近似素数阶的 genus 2 雅可比簇，为密码学应用提供了支持。