[论文解读] Computing Instance-Optimal Kernels in Two Dimensions

Pankaj K. Agarwal, Sariel Har-Peled|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2022

Point processes and geometric inequalities被引用 1

一句话总结

该论文提出了计算平面中实例最优ε-核与弱ε-核的首个高效算法，分别在O(nkε log n)和O(n² log n)时间内实现最优大小。论文引入了ε-core这一新概念，即凸多边形近似，通过几何对偶性和分段双曲包络中的射线投射，实现近线性时间计算小尺寸ε-核。

ABSTRACT

Let $P$ be a set of $n$ points in $\Re^2$. For a parameter $\varepsilon\in (0,1)$, a subset $C\subseteq P$ is an \emph{$\varepsilon$-kernel} of $P$ if the projection of the convex hull of $C$ approximates that of $P$ within $(1-\varepsilon)$-factor in every direction. The set $C$ is a \emph{weak $\varepsilon$-kernel} of $P$ if its directional width approximates that of $P$ in every direction. Let $\mathsf{k}_{\varepsilon}(P)$ (resp.\ $\mathsf{k}^{\mathsf{w}}_{\varepsilon}(P)$) denote the minimum-size of an $\varepsilon$-kernel (resp. weak $\varepsilon$-kernel) of $P$. We present an $O(n\mathsf{k}_{\varepsilon}(P)\log n)$-time algorithm for computing an $\varepsilon$-kernel of $P$ of size $\mathsf{k}_{\varepsilon}(P)$, and an $O(n^2\log n)$-time algorithm for computing a weak $\varepsilon$-kernel of $P$ of size ${\mathsf{k}}^{\mathsf{w}}_{\varepsilon}(P)$. We also present a fast algorithm for the Hausdorff variant of this problem. In addition, we introduce the notion of \emph{$\varepsilon$-core}, a convex polygon lying inside $\mathsf{ch}(P)$, prove that it is a good approximation of the optimal $\varepsilon$-kernel, present an efficient algorithm for computing it, and use it to compute an $\varepsilon$-kernel of small size.

研究动机与目标

• 开发计算R²中实例最优ε-核与弱ε-核的首个多项式时间算法。
• 解决长期悬而未决的开放问题：尽管在d ≥ 3维中为NP难，平面中实例最优核是否可高效计算。
• 引入ε-core作为最优核的几何代理，以加速计算。
• 为Hausdorff距离变体的核问题提供近似最优算法。

提出的方法

• 提出ε-core作为ch(P)内部的凸多边形，用于近似最优ε-核。
• 利用几何对偶性和极性，将命中集问题转化为对偶曲线上阻断集问题。
• 采用[CG86]中的线段交点搜索数据结构，支持在分段双曲包络上进行O(log n)时间的射线投射查询。
• 将ε-核问题转化为表示半平面的对偶曲线上最小弧覆盖的计算问题。
• 将该数据结构适配以处理圆弧的对偶，从而生成双曲包络曲线。
• 通过将问题建模为由圆弧定义的半平面的命中集，将该框架应用于Hausdorff近似变体。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管在d ≥ 3维中为NP难，平面中实例最优ε-核是否可在多项式时间内计算？
• RQ2 ε-core与最优ε-核之间存在何种结构关系？
• RQ3 能否以近似最优核大小高效求解Hausdorff近似问题？
• RQ4 如何利用几何对偶性和射线投射求解方向宽度近似的命中集问题？

主要发现

• O(nkε log n)时间算法可计算出大小为kε的ε-核，即P的最小可能大小，从而解决了d=2时的开放问题。
• O(n² log n)时间算法可计算出大小为kwε的弱ε-核，即最小可能大小。
• 证明ε-core是最优ε-核的(1/4)近似，从而可在O(n log n)时间内计算出大小至多为kε/4的核。
• 提出新的O(nkhε log n)时间算法，可计算出Q ⊆ P，使得ch(Q)与ch(P)之间的Hausdorff距离至多为ε，其中khε为满足此条件的集合的最小大小。
• 论文证明ε-core是最优核的良好代理，通过几何对偶性实现更快计算。
• 利用对偶双曲包络与射线投射，可高效计算阻断集，构成算法框架的核心。