[论文解读] Computing K-theory and Ext for graph C*-algebras

D. Drinen, Mark Tomforde|ArXiv.org|Mar 6, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用 46

一句话总结

本文计算了任意可数有向图的 C*-代数的 K-理论和 Ext 群，通过去奇异化将先前针对行有限图的结果推广到任意图。关键贡献在于证明图 C*-代数的 K-理论和 Ext 由转置顶点矩阵的余核和核决定，并且图代数 $ C^*(E_A) $ 并不总是与 Exel-Laca 代数 $ \mathcal{O}_A $ Morita 同构，尽管它是其子代数。

ABSTRACT

K-theory and Ext are computed for the C*-algebra C*(E) of any countable directed graph E. The results generalize the K-theory computations of Raeburn and Szymanski and the Ext computations of Tomforde for row-finite graphs. As a consequence, it is shown that if A is a countable {0,1} matrix and E_A is the graph obtained by viewing A as a vertex matrix, then C*(E_A) is not necessarily Morita equivalent to the Exel-Laca algebra O_A.

研究动机与目标

• 将图 C*-代数的 K-理论和 Ext 计算从行有限图推广到任意可数有向图。
• 解决 Raeburn 和 Szymański 提出的关于图 C*-代数 $ C^*(E_A) $ 与 Exel-Laca 代数 $ \mathcal{O}_A $ 之间关系的问题。
• 证明 $ C^*(E_A) $ 并不总是与 $ \mathcal{O}_A $ Morita 同构，尽管它是其子代数。
• 建立 K-理论和 Ext 在 Morita 同构下是稳定的，并可通过去奇异化进行计算。

提出的方法

• 使用去奇异化将任意图 $ E $ 变换为无奇异顶点的行有限图 $ F $，使得 $ C^*(E) $ 与 $ C^*(F) $ Morita 同构。
• 证明一个技术性引理，表明去奇异化保持由转置顶点矩阵定义的映射的核与余核。
• 对 $ F $ 应用已知的行有限图结果，然后利用 K-理论和 Ext 在 Morita 同构下的稳定性，将结果回传至 $ E $。
• 将奇异顶点定义为汇点或发出无穷多条边的顶点，并将顶点矩阵 $ A_E $ 相应地分解为块 $ B $ 和 $ C $。
• 将 $ K_0(C^*(E)) $ 计算为 $ \begin{pmatrix} B^t - I \\ C^t \end{pmatrix} $ 的余核，将 $ K_1(C^*(E)) $ 计算为同一映射的核。
• 对于满足条件 (L) 的图，利用相同的矩阵分解，将 $ \operatorname{Ext}(C^*(E)) $ 计算为 $ (B - I \; C) $ 的余核，作用于乘积群上。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用顶点矩阵计算非行有限图的图 C*-代数 $ C^*(E) $ 的 K-理论？
• RQ2 在满足条件 (L) 的情况下，$ C^*(E) $ 的 Ext 群是否仍可计算？
• RQ3 图 C*-代数 $ C^*(E_A) $ 是否总是与 Exel-Laca 代数 $ \mathcal{O}_A $ Morita 同构，其中 $ A $ 是 {0,1}-矩阵，$ E_A $ 是其关联图？
• RQ4 去奇异化是否能保持原始图代数的 K-理论和 Ext 不变量？
• RQ5 在 $ C^*(E_A) \subseteq \mathcal{O}_A $ 的前提下，$ C^*(E_A) $ 与 $ \mathcal{O}_A $ 之间的精确关系是什么？

主要发现

• 对于任意可数有向图 $ E $，有 $ K_0(C^*(E)) \cong \operatorname{coker}\begin{pmatrix} B^t - I \\ C^t \end{pmatrix} $，其中 $ B $ 和 $ C $ 是顶点矩阵按奇异与非奇异顶点划分的块。
• 对于同一图，有 $ K_1(C^*(E)) \cong \ker\begin{pmatrix} B^t - I \\ C^t \end{pmatrix} $，使用相同的矩阵分解。
• 若 $ E $ 满足条件 (L)，则 $ \operatorname{Ext}(C^*(E)) \cong \operatorname{coker}(B - I \; C) $，其中矩阵作用于乘积群上。
• 当 $ E $ 的所有顶点均为奇异顶点（汇点或无限发出器）时，有 $ K_0(C^*(E)) \cong \bigoplus_{E^0} \mathbb{Z} $，且 $ K_1(C^*(E)) \cong \{0\} $，而 $ \operatorname{Ext}(C^*(E)) \cong \{0\} $。
• 在 Raeburn 和 Szymański 的例子中，对于矩阵 $ A $，有 $ K_0(C^*(E_A)) \cong \{0\} $，$ K_1(C^*(E_A)) \cong \{0\} $，而 $ K_1(\mathcal{O}_A) \cong \mathbb{Z} $，这证明 $ C^*(E_A) $ 不与 $ \mathcal{O}_A $ Morita 同构。
• 由于 $ C^*(E_A) $ 是纯无穷、简单、可分、核的，且 K-理论平凡，因此它与 $ \mathcal{O}_2 $ Morita 同构，且因其稳定性，有 $ C^*(E_A) \cong \mathcal{O}_2 \otimes \mathcal{K} $。