[论文解读] Computing L1 Shortest Paths among Polygonal Obstacles in the Plane

Danny Z. Chen, Haitao Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 33被引用 6

一句话总结

本文提出了一种在平面中多边形障碍物之间计算 $L_1$ 最短路径图的最优算法，实现 $O(T)$ 的时间复杂度，其中 $T$ 为自由空间三角剖分的时间。通过利用走廊结构和障碍物核心，该方法将问题缩减为更小的实例，从而实现 $O(\log n)$ 的查询时间，并在三角剖分最优时达到最优性能。

ABSTRACT

Given a point $s$ and a set of $h$ pairwise disjoint polygonal obstacles of totally $n$ vertices in the plane, we present a new algorithm for building an $L_1$ shortest path map of size O(n) in $O(T)$ time and O(n) space such that for any query point $t$, the length of the $L_1$ shortest obstacle-avoiding path from $s$ to $t$ can be reported in $O(\log n)$ time and the actual shortest path can be found in additional time proportional to the number of edges of the path, where $T$ is the time for triangulating the free space. It is currently known that $T=O(n+h\log^{1+ε}h)$ for an arbitrarily small constant $ε>0$. If the triangulation can be done optimally (i.e., $T=O(n+h\log h)$), then our algorithm is optimal. Previously, the best algorithm computes such an $L_1$ shortest path map in $O(n\log n)$ time and O(n) space. Our techniques can be extended to obtain improved results for other related problems, e.g., computing the $L_1$ geodesic Voronoi diagram for a set of point sites in a polygonal domain, finding shortest paths with fixed orientations, finding approximate Euclidean shortest paths, etc.

研究动机与目标

• 开发一种高效算法，用于计算 $h$ 个两两不相交的多边形障碍物（共 $n$ 个顶点）的 $L_1$ 最短路径图（SPM）。
• 实现相对于自由空间三角剖分的时间复杂度最优，因为这是当前该问题的性能瓶颈。
• 将该方法推广至相关问题，如矩形最短路径、$C$-方向路径以及近似欧几里得最短路径。
• 证明构建 $L_1$ SPM 的时间复杂度与自由空间三角剖分具有相同的渐近复杂度，即两者在时间复杂度上等价。

提出的方法

• 该算法将 Mitchell 的连续 Dijkstra 方法作为子程序，适配于障碍物核心的缩减集合上。
• 对于每个障碍物，仅考虑沿水平和垂直方向的四个极端顶点（即核心），从而将问题规模从 $O(n)$ 降低至 $O(h)$ 个顶点。
• 通过在核心上应用该算法构建 $L_1$ 最短路径图，耗时 $O(h \log h)$，随后在原始障碍物上进行重构阶段。
• 利用走廊结构引导最短路径的传播，确保计算效率并正确重构路径。
• 该方法支持标准查询性能：路径长度查询耗时 $O(\log n)$，路径检索耗时与路径边数成正比。
• 通过使用 $c$-方向核心并利用 $c$ 个方向近似欧几里得度量，该框架可推广至 $C$-方向路径和近似欧几里得最短路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使 $L_1$ 最短路径图的构建效率与自由空间三角剖分相当？
• RQ2 能否通过障碍物核心将 $L_1$ 最短路径计算缩减为更小的实例，同时保持最优性？
• RQ3 该算法能否在保证可证明性能的前提下推广至 $C$-方向路径和近似欧几里得最短路径？
• RQ4 $L_1$ SPM 的构建是否与三角剖分具有相同的渐近时间复杂度，从而在难度上等价？

主要发现

• 该算法在 $O(T)$ 时间和 $O(n)$ 空间内构建大小为 $O(n)$ 的 $L_1$ 最短路径图，其中 $T$ 为自由空间三角剖分的时间。
• 当三角剖分以 $O(n + h \log h)$ 时间最优完成时，该算法实现最优的 $O(n + h \log h)$ 时间复杂度。
• 对于两点间的 $L_1$ 最短路径问题，该算法运行时间为 $O(n + h \log^{1+\epsilon}h)$，与目前已知的最佳界限一致。
• 该方法可扩展至 $C$-方向最短路径，在 $c$ 个方向下以 $O(n + c^2 h \log ch)$ 时间求解，其中 $c = |C|$。
• 对于近似欧几里得最短路径，该算法在 $O(n + h \log^{1+\epsilon}h + (1/\delta) h \log(h/\sqrt{\delta}))$ 时间内计算出 $(1+\delta)$-最优路径。
• 本文证明了 $L_1$ SPM 构建的时间复杂度与自由空间三角剖分渐近等价，即为 $\Theta(T)$。