[论文解读] Computing local multipoint correlators using the numerical renormalization group

Seung‐Sup B. Lee, Fabian B. Kugler+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2021

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 106被引用 33

一句话总结

本文提出了一种数值重整化群（NRG）方法，可在所有频率和温度范围内高精度计算量子杂质模型中的局域三、四点关联函数。通过引入部分谱函数（PSFs）并结合与形式特定核函数的递归卷积，该方法实现了非微扰、实频率下的关联函数与RIXS谱的计算，能够包含Kondo物理和安德森正交性效应。

ABSTRACT

Local three- and four-point correlators yield important insight into strongly correlated systems and have many applications. However, the nonperturbative, accurate computation of multipoint correlators is challenging, particularly in the real-frequency domain for systems at low temperatures. In the accompanying paper, we introduce generalized spectral representations for multipoint correlators. Here, we develop a numerical renormalization group (NRG) approach, capable of efficiently evaluating these spectral representations, to compute local three- and four-point correlators of quantum impurity models. The key objects in our scheme are partial spectral functions, encoding the system's dynamical information. Their computation via NRG allows us to simultaneously resolve various multiparticle excitations down to the lowest energies. By subsequently convolving the partial spectral functions with appropriate kernels, we obtain multipoint correlators in the imaginary-frequency Matsubara, the real-frequency zero-temperature, and the real-frequency Keldysh formalisms. We present exemplary results for the connected four-point correlators of the Anderson impurity model, and for resonant inelastic x-ray scattering (RIXS) spectra of related impurity models. Our method can treat temperatures and frequencies -- imaginary or real -- of all magnitudes, from large to arbitrarily small ones.

研究动机与目标

• 开发一种非微扰、数值精确的方法，用于计算强关联量子杂质模型中的局域多点关联函数。
• 克服标准求解器（如QMC和ED）在计算实频率、低温三、四点函数时面临的挑战。
• 通过引入部分谱函数（PSFs）的递归计算，将全密度矩阵NRG方法推广至ℓ点关联函数。
• 实现在Matsubara、零温实频率和有限温Keldysh形式体系中，关联函数与顶点的精确计算。
• 将该方法应用于计算共振非弹性X射线散射（RIXS）谱，捕捉强关联效应，如Kondo效应和安德森正交性。

提出的方法

• 该方法引入部分谱函数（PSFs）作为体系特异的广义Lehmann表示，编码多体谱信息。
• 将全密度矩阵（fdm）NRG框架扩展，通过利用低阶PSFs作为构建模块，递归计算三、四点函数的PSFs。
• 开发了一种迭代方案，以解决不同频率尺度 |ωi| ≪ |ωj| 的情形，确保在所有能量尺度上具有精细分辨率。
• 将PSFs与形式特定核函数（分别针对Matsubara、零温实频率和Keldysh形式体系）进行卷积，以获得完整关联函数。
• 对于实频率关联函数，通过数值展宽PSFs以补偿NRG演化中的离散化效应。
• 通过减去不连通贡献，提取四点关联函数的连通部分，并采用策略提升数值精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在任意低温下高精度计算实频率域中的局域三、四点关联函数？
• RQ2 NRG方法能否推广至计算超越两点函数的多点关联函数，并在低能区实现指数分辨率？
• RQ3 强关联效应（如Kondo效应和安德森正交性）如何在共振非弹性X射线散射（RIXS）谱中体现？
• RQ4 部分谱函数（PSFs）在实现多点关联函数统一、形式无关框架中起到何种作用？
• RQ5 该方法在不同形式体系和相互作用区域中，对解析解、微扰解和QMC基准的再现程度如何？

主要发现

• 该方法成功计算了安德森杂质模型的连通四点关联函数，在弱耦合区与微扰结果高度一致。
• 在Kondo区，该方法准确捕捉了零温四点顶点的幂律行为，与X射线吸收理论的解析预测一致。
• 在中等温度下，该方法复现了安德森杂质模型在Matsubara频率下的四点顶点QMC结果。
• 在无限U极限下，该方法复现了Hubbard原子的精确Keldysh四点顶点，验证了其在强关联极限下的精度。
• 对Mahan杂质模型和增强安德森模型计算的RIXS谱，分别清晰揭示了安德森正交性和Kondo屏蔽的特征。
• 该方法实现了远低于Kondo尺度的温度与频率分辨率，使强关联体系的低能动力学得以精确探查。