[论文解读] Computing (or not) Quasi-Periodicity Functions of Tilings

Alexis Ballier, Emmanuel Jeandel|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2010

Cellular Automata and Applications参考文献 26被引用 8

一句话总结

本文通过证明仅允许准周期性密铺的瓦片集可以具有递归有界的准周期性函数，纠正了先前工作中的一项错误主张；同时构造了一个瓦片集，其中没有任何准周期性密铺具有可计算有界的准周期性函数。利用有效的一维子移位和编码技术，本文证明了此类无界性是可能的，从而解决了密铺动力学与可计算性理论中的一个关键问题。

ABSTRACT

We know that tilesets that can tile the plane always admit a quasi-periodic tiling [4, 8], yet they hold many uncomputable properties [3, 11, 21, 25]. The quasi-periodicity function is one way to measure the regularity of a quasi-periodic tiling. We prove that the tilings by a tileset that admits only quasi-periodic tilings have a recursively (and uniformly) bounded quasi-periodicity function. This corrects an error from [6, theorem 9] which stated the contrary. Instead we construct a tileset for which any quasi-periodic tiling has a quasi-periodicity function that cannot be recursively bounded. We provide such a construction for 1-dimensional effective subshifts and obtain as a corollary the result for tilings of the plane via recent links between these objects [1, 10].

研究动机与目标

• 纠正[6, 定理9]中的错误主张：某些仅允许准周期性密铺的瓦片集具有不可计算有界的准周期性函数。
• 研究仅允许此类密铺的瓦片集中，准周期性密铺的准周期性函数是否可以被递归有界。
• 建立一维有效子移位与二维密铺之间的联系，以转移关于准周期性有界性的结果。
• 证明存在某些瓦片集，其中每个准周期性密铺的准周期性函数均逃逸所有递归有界性。

提出的方法

• 构造一个有效的一维子移位，使得每个均匀重复的配置的准周期性函数在特定点处超过给定的部分递归函数 φ(n)。
• 采用双层构造：第一层编码一个可计算序列 (u_n)，第二层在由 φ(n) 确定的间隔处强制出现周期性1，以确保模式重复被延迟。
• 应用已知的一维有效子移位到二维SFT（有限型子移位）的编码方法，保持准周期性及函数增长特性。
• 通过枚举部分可计算函数，使用对角化论证定义函数 φ(n) = φ_n(n) + 1，确保 φ 不可被可计算有界。
• 利用模式不出现性是 co-递归可枚举的性质，证明该构造避免了编码中的可判定性问题。
• 通过归约为一维情形，证明在所得二维瓦片集中，任何准周期性密铺的准周期性函数均不可被递归有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅允许准周期性密铺的瓦片集的准周期性函数是否可以被递归有界？
• RQ2 是否存在一个瓦片集，使得没有任何准周期性密铺具有可计算有界的准周期性函数？
• RQ3 [6, 定理9]中的主张——此类无界瓦片集存在——是否正确或存在缺陷？
• RQ4 有效的一维子移位能否用于构造具有无界准周期性函数的二维瓦片集？
• RQ5 将递归可枚举集编码进密铺图案，对多米诺问题的可判定性有何影响？

主要发现

• 本文证明，仅允许准周期性密铺的瓦片集，其准周期性函数可以被统一且递归有界，从而纠正了[6, 定理9]中的错误主张。
• 本文构造了一个有效的一维子移位，使得每个准周期性配置的准周期性函数在 φ(n) 有定义的点处均超过给定的部分递归函数 φ(n)。
• 该构造意味着存在一个二维瓦片集，其中每个准周期性密铺的准周期性函数均不可被递归有界。
• 关键技术洞见在于：在一维子移位中，通过非可计算函数 φ(n) 决定1的间隔，可防止准周期性函数被递归有界。
• 本文指出了[6, 定理9]构造中的缺陷：若通过可计算的模式大小 g(i) 编码非递归集 K，则 K 将变为可判定，与 K 的非递归性矛盾。
• 因此，[6, 定理9]中的主张无效，正确结论是此类无界瓦片集确实存在——但仅能通过本文提供的另一种有效构造实现。