[论文解读] Computing over the Reals: Foundations for Scientific Computing

Mark Braverman, Stephen Cook|ArXiv.org|Sep 14, 2005

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 18被引用 49

一句话总结

本文将实数上的位模型计算确立为科学计算的严格基础，主张其比代数BSS模型更能反映实际数值计算。它证明了通过有理逼近可定义可计算的实函数与可判定集合，并表明BSS模型中的不可判定性结果（例如曼德布罗特集）并不反映实际计算限制，而位模型则支持连续问题的有意义不可计算性与复杂性理论。

ABSTRACT

We give a detailed treatment of the ``bit-model'' of computability and complexity of real functions and subsets of R^n, and argue that this is a good way to formalize many problems of scientific computation. In the introduction we also discuss the alternative Blum-Shub-Smale model. In the final section we discuss the issue of whether physical systems could defeat the Church-Turing Thesis.

研究动机与目标

• 通过位模型形式化实数上的可计算性与复杂性，该模型反映了计算机实际通过有理逼近处理实数的方式。
• 主张位模型比BSS模型更适合科学计算，因其与实际数值计算一致，并避免了反直觉的不可判定性结果。
• 探讨物理系统是否可能计算不可计算函数，结合潜在的鲁棒、不可模拟的物理过程，对邱奇-图灵论题提出挑战。
• 澄清理论计算难度与物理鲁棒性之间的区别，尤其针对可能逃避数值模拟的系统。

提出的方法

• 将实函数定义为在位模型中可计算，若存在一个算法，可在给定x的有理逼近时，计算出f(x)的有理逼近。
• 使用有界子集R^n上的位可计算性概念，其中若一个程序能以任意缩放和精度在屏幕上绘制该集合，则称其为可计算。
• 将位模型与BSS模型进行比较，强调BSS模型中的不可计算性结果（例如e^x或科赫雪花）并不反映实际限制，因为该模型假设精确算术。
• 在可能通过鲁棒、不可模拟的动力学计算不可计算函数的物理系统背景下，分析邱奇-图灵论题。
• 提出一个框架：物理系统A通过两个可计算的转换器φ和ψ计算不可计算函数f，使得φ(x)演化至σ_T，且ψ(σ_T) = f(x)。
• 基于鲁棒性评估物理系统的计算能力：系统必须在初始状态发生微小扰动时，仍以高概率输出正确结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 位模型能否为科学计算提供比BSS模型更真实、更实用的基础？
• RQ2 为何BSS模型中的不可判定性结果（例如曼德布罗特集）无法反映实际计算限制？
• RQ3 是否存在一种既鲁棒又在数值上难以模拟的物理系统，可能违反扩展的邱奇-图灵论题？
• RQ4 若一个物理设备在小扰动下仍保持鲁棒，它能否计算不可计算函数？这对邱奇-图灵论题有何含义？

主要发现

• 位模型比BSS模型更准确地形式化了科学计算，因为它反映了计算机实际使用实数的有限逼近这一事实。
• 在位模型中，e^x等函数以及科赫雪花等集合是可计算的，而BSS模型中由于依赖精确算术，这些对象是不可判定的。
• BSS模型中的不可判定性结果——如曼德布罗特集不可判定——并不对应实际计算困难，因为其根源在于对精确计算的理想化假设。
• 只有当物理系统A在小扰动下保持鲁棒时，才可能计算不可计算函数f，从而确保ψ(σ_T) = f(x)以高概率成立，即使存在噪声。
• 若此类鲁棒且不可模拟的系统存在，将意味着对扩展邱奇-图灵论题的违反，但未必违反原始邱奇-图灵论题。
• 即使此类系统存在，其可能仅能计算无意义的函数，而无法解决经典难题如停机问题或希尔伯特第十问题。