[论文解读] Computing rational points in convex semi-algebraic sets and SOS decompositions

Mohab Safey El Din, Lihong Zhi|ArXiv.org|Oct 15, 2009

Polynomial and algebraic computation参考文献 19被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种多项式时间算法，用于计算由整系数多项式不等式定义的凸半代数集中的有理点，其位复杂度被限定为 $\sigma^{O(1)}D^{O(k^3)}$，其中 $\sigma$ 为系数的位长度，$D$ 为最大次数。该方法被应用于判断一个有理系数多项式是否为 $\mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]$ 中有理多项式的平方和（SOS），当存在时可提供有理 SOS 分解，且分解中多项式系数的位长度为 $\tau D^{O(k^3)}$，其中 $\tau$ 为一个次数为 $2d$ 的多项式系数的位长度。

ABSTRACT

Let ${\cal P}=\{h_1, ..., h_s\}\subset \Z[Y_1, ..., Y_k]$, $D\geq °(h_i)$ for $1\leq i \leq s$, $σ$ bounding the bit length of the coefficients of the $h_i$'s, and $Φ$ be a quantifier-free ${\cal P}$-formula defining a convex semi-algebraic set. We design an algorithm returning a rational point in ${\cal S}$ if and only if ${\cal S}\cap \Q eq\emptyset$. It requires $σ^{\bigO(1)}D^{\bigO(k^3)}$ bit operations. If a rational point is outputted its coordinates have bit length dominated by $σD^{\bigO(k^3)}$. Using this result, we obtain a procedure deciding if a polynomial $f\in \Z[X_1, >..., X_n]$ is a sum of squares of polynomials in $\Q[X_1, ..., X_n]$. Denote by $d$ the degree of $f$, $τ$ the maximum bit length of the coefficients in $f$, $D={{n+d}\choose{n}}$ and $k\leq D(D+1)-{{n+2d}\choose{n}}$. This procedure requires $τ^{\bigO(1)}D^{\bigO(k^3)}$ bit operations and the coefficients of the outputted polynomials have bit length dominated by $τD^{\bigO(k^3)}$.

研究动机与目标

• 设计一种算法，用于判断由整系数多项式不等式定义的凸半代数集是否包含有理点。
• 当存在有理点时，高效计算其坐标，并保证坐标位长度有界。
• 将该方法应用于判断一个有理系数多项式是否为有理系数多项式平方和的问题。
• 对有理点计算与 SOS 分解过程的复杂度进行分析。

提出的方法

• 该算法利用 Basu 等人（1996）提出的方法，通过实数上的量化消除过程，将半代数集转化为无量词形式。
• 将凸半代数集中有理点存在的问题，转化为求解具有整系数的非严格多项式不等式组的问题。
• 通过将 SOS 条件表示为系数上的半正定矩阵约束，利用半定规划对偶性。
• 采用解集的有理参数化方法，当所有根均为实数时，一元多项式的实根平均值可给出一个有理点。
• 通过利用定义不等式解簇的对称性与代数结构，计算有理点。
• 通过在 $D$、$k$ 和 $\sigma$ 的范围内，对中间系数大小与算术运算次数进行有界，分析位复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 由整系数多项式不等式定义的凸半代数集是否可能包含有理点？若存在，能否高效计算？
• RQ2 在给定多项式次数与系数大小边界的前提下，计算此类集合中一个有理点的位复杂度是多少？
• RQ3 能否通过算法判断一个有理系数多项式是否存在有理系数平方和分解？
• RQ4 当有理 SOS 分解存在时，计算其位复杂度是多少？
• RQ5 在何种条件下，实数域上的 SOS 分解存在性可推出有理数域上 SOS 分解的存在性？

主要发现

• 该算法在 $\sigma^{O(1)}D^{O(k^3)}$ 次位运算内判断凸半代数集中是否存在有理点，其中 $\sigma$ 为系数位长度的上界，$D$ 为多项式最大次数。
• 当存在有理点时，其坐标位长度至多为 $\sigma D^{O(k^3)}$。
• 该算法可在 $\tau^{O(1)}D^{O(k^3)}$ 次位运算内判断一个次数为 $2d$ 的有理系数多项式 $f$ 是否为 $\mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]$ 中的平方和，其中 $\tau$ 为 $f$ 的系数位长度的上界。
• 若 $f$ 为有理 SOS，则其分解中所用有理多项式的系数位长度至多为 $\tau D^{O(k^3)}$。
• 该方法相比先前方法有显著改进：在解簇仅有实根的条件下，RationalTotalRealSolve 函数的复杂度为 $\tau^{O(1)}D^{O(k)}$。
• 本文证明：若一个多项式具有实数域上的 SOS 分解，且其解簇为实根式，则其存在有理 SOS 分解，且可高效计算。