[论文解读] Computing Real Roots of Real Polynomials - An Efficient Method Based on Descartes' Rule of Signs and Newton Iteration

Michael Sagraloff, Kurt Mehlhorn|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2013

Numerical Methods and Algorithms参考文献 24被引用 10

一句话总结

本文提出了一种高效算法，通过结合笛卡尔符号法则与牛顿迭代法，对无平方实系数多项式进行实根的隔离与精化。该算法在复杂度上达到最优，且设计更为简洁，优于以往方法，可实现高精度的根精化，复杂度接近最优。

ABSTRACT

Computing the real roots of a polynomial is a fundamental problem of computational algebra. We describe a variant of the Descartes method that isolates the real roots of any real square-free polynomial given through coefficient oracles. A coefficient oracle provides arbitrarily good approximations of the coefficients. The bit complexity of the algorithm matches the complexity of the best algorithm known, and the algorithm is simpler than this algorithm. The algorithm derives its speed from the combination of Descartes method with Newton iteration. Our algorithm can also be used to further refine the isolating intervals to an arbitrary small size. The complexity of root refinement is nearly optimal.

研究动机与目标

• 开发一种更快、更简单的算法，用于隔离无平方实系数多项式的实根。
• 实现与现有最佳算法相当的最优位复杂度。
• 实现对实根隔离区间的任意精度精化。
• 结合笛卡尔符号法则与牛顿迭代法，提升计算效率。

提出的方法

• 该算法使用系数预言机来访问多项式系数的任意高精度近似值。
• 利用笛卡尔符号法则在区间内隔离实根。
• 通过集成牛顿迭代法，将隔离区间精化至任意精度。
• 通过利用笛卡尔符号法则的符号变化计数，保持高效率。
• 通过无平方多项式假设与区间精化，确保正确性。
• 与以往最优复杂度方法相比，该算法结构更为简化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种更简单的算法，实现与现有最佳方法相当的位复杂度，用于实根隔离？
• RQ2 如何有效结合笛卡尔符号法则与牛顿迭代法，以实现实根计算？
• RQ3 使用该混合方法将隔离区间精化至任意精度的复杂度是多少？
• RQ4 该方法能否在简化实现的同时保持最优复杂度？

主要发现

• 该算法在实根隔离任务中的位复杂度与现有最佳算法相当。
• 与现有最优复杂度算法相比，该方法在设计上更为简洁。
• 对隔离区间的任意精度精化，其复杂度接近最优。
• 笛卡尔符号法则与牛顿迭代法的结合，实现了高效的根隔离与高精度精化。