[论文解读] Computing Relaxations for the Three-Dimensional Stable Matching Problem with Cyclic Preferences

Ágnes Cseh, Escamocher, Guillaume+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Game Theory and Voting Systems被引用 3

一句话总结

本文研究了在具有循环偏好关系的三维稳定匹配问题中，流行匹配的存在性与复杂性，提出了新颖的难解性结果与特征刻画。研究证明，即使在完整偏好列表下，流行匹配也可能不存在，并在某一类代理使用主列表的情况下，提供了强流行匹配的线性时间特征刻画，这与主列表实例中稳定匹配的丰富性形成鲜明对比。

ABSTRACT

Constraint programming has proven to be a successful framework for determining whether a given instance of the three-dimensional stable matching problem with cyclic preferences (3dsm-cyc) admits a solution. If such an instance is satisfiable, constraint models can even compute its optimal solution for several different objective functions. On the other hand, the only existing output for unsatisfiable 3dsm-cyc instances is a simple declaration of impossibility. In this paper, we explore four ways to adapt constraint models designed for 3dsm-cyc to the maximum relaxation version of the problem, that is, the computation of the smallest part of an instance whose modification leads to satisfiability. We also extend our models to support the presence of costs on elements in the instance, and to return the relaxation with lowest total cost for each of the four types of relaxation. Empirical results reveal that our relaxation models are efficient, as in most cases, they show little overhead compared to the satisfaction version.

研究动机与目标

• 研究具有循环偏好的三维匹配实例中流行匹配的存在性与复杂性。
• 探讨在具有循环偏好的三维环境中，稳定性、流行性及其强变体之间的关系。
• 分析主列表结构对流行匹配与强流行匹配的存在性与计算的影响。
• 解决关于在具有完整列表的三维实例中寻找流行匹配的复杂性的开放问题。

提出的方法

• 提出基于归约的方法，证明在具有完整列表的三维循环偏好实例中，判断流行匹配存在性的NP完全性。
• 引入循环移位操作以比较匹配，并通过统计代理偏好来评估流行性。
• 应用先前工作中提出的边界虚拟代理概念来分析完备性约束，尽管指出其在适应到流行性时存在局限性。
• 为1个主列表实例中的强流行匹配建立特征刻画，表明所有非主类代理必须匹配到其首选对象。
• 使用基于投票的匹配比较来定义流行性，其中若更多代理偏好匹配M，则称M比M′更受欢迎。
• 采用案例分析与对称性论证，证明非主类中任何偏离首选匹配的行为都会破坏强流行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有循环偏好和完整列表的三维稳定匹配实例中，流行匹配是否总是存在？
• RQ2 在具有完整循环偏好的三维实例中，判断流行匹配是否存在问题的计算复杂性是什么？
• RQ3 在具有主列表的三维实例中，是否可以对强流行匹配进行特征刻画并高效计算？
• RQ4 主列表结构如何影响在三维循环偏好设置下流行匹配的存在性与结构？
• RQ5 在三维循环匹配问题中，稳定性与流行性之间存在何种关系？

主要发现

• 在具有完整列表的三维循环偏好实例中，流行匹配可能不存在，即使在一般情况下稳定匹配也已知不存在。
• 对于源自3个主列表的三维实例，当n ≥ 5时，不存在流行匹配，这通过循环移位论证得到证明，该论证至少使2n−2名代理受益。
• 对于2个主列表的实例，当n ≥ 5时，也不存在流行匹配，原因在于类似的循环移位使至少2n−2名代理受益，最多使n+2名代理受损。
• 在1个主列表的实例中，当且仅当所有非主类代理均匹配到其首选对象时，匹配才是强流行匹配，且该条件可在O(n)时间内验证。
• 在3个主列表实例中存在指数级数量的稳定匹配，这与当n ≥ 5时流行匹配的非存在性形成鲜明对比，凸显了稳定性与流行性之间根本性的脱节。
• 本文未解决在不完整列表下验证A∪B-流行匹配的复杂性问题，但推测其为NP完全问题。