[论文解读] Computing solutions of Schrödinger equations on unbounded domains- On the brink of numerical algorithms

Simon Becker, Anders C. Hansen|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2020

Numerical Methods and Algorithms参考文献 70被引用 6

一句话总结

该论文利用可计算性复杂度指数（SCI）层级，对无界域上的可计算线性和非线性薛定谔方程建立了基础分类。研究证明，尽管许多类别的解——尤其是非聚焦和离散NLS——可以以统一的运行时间界限进行计算，但聚焦NLS和某些线性问题的解由于在爆破检测中存在不可判定性，本质上是不可计算的。

ABSTRACT

We address the open problem of determining which classes of time-dependent linear Schrödinger equations and focusing and defocusing cubic and quintic non-linear Schrödinger equations (NLS) on unbounded domains that can be computed by an algorithm. We demonstrate how such an algorithm in general does not exist, yielding a substantial classification theory of which problems in quantum mechanics that can be computed. Moreover, we establish classifications on which problems that can be computed with a uniform bound on the runtime, as a function of the desired $ε$-accuracy of the approximation. This include linear and nonlinear Schrödinger equations for which we provide positive and negative results and conditions on both the initial state and the potentials such that there exist computational (recursive) a priori bounds that allow reduction of the IVP on an unbounded domain to an IVP on a bounded domain, yielding an algorithm that can produce an $ε$-approximation. In addition, we show how no algorithm can decide, and in fact not verify nor falsify, if the focusing NLS will blow up in finite time or not, yet, for the defocusing NLS, solutions can be computed given mild assumptions on the initial state and the potentials. Finally, we show that solutions to discrete NLS equations (focusing and defocusing) on an unbounded domain can always be computed with uniform bounds on the runtime of the algorithm. The algorithms presented are not just of theoretical interest, but efficient and easy to implement in applications. Our results have implications beyond computational quantum mechanics and are a part of the Solvability Complexity Index (SCI) hierarchy and Smale's program on the foundations of computational mathematics. For example our results provide classifications of which mathematical problems may be solved by computer assisted proofs.

研究动机与目标

• 确定时间依赖的线性和非线性薛定谔方程在无界域上哪些类别可被算法计算。
• 将具有关于所需精度 $\epsilon$ 的统一运行时间界限的算法所适用的问题进行分类。
• 建立初始状态和势能的条件，使得可通过递归的先验界将无界域问题约化为有界域问题。
• 研究聚焦非线性薛定谔方程中有限时间爆破的可判定性。
• 通过将SCI层级应用于量子力学PDE，扩展斯玛莱的计算基础程序。

提出的方法

• 提出一种递归算法，用于计算 $ R > 0 $，使得在有界立方体 $ \mathcal{C}_R $ 上的解在 $ L^2 $-范数下与 $ \mathbb{R}^d $ 上的真实解的误差在 $ \epsilon $ 以内。
• 应用对初始数据的Sobolev和广义Sobolev范数界，以及对势能的弱增长条件，以确保可计算性。
• 在有界域 $ \mathcal{C}_R $ 上使用离散化技术，所有用于 $ \epsilon $-精度的参数均从 $ \epsilon $ 递归确定。
• 采用全局基逼近和光滑化方法，以处理非光滑初始状态和粗糙势能。
• 应用SCI层级对求解薛定谔方程的计算复杂度进行分类，区分可计算类与不可计算类。
• 证明即使在聚焦情况下，无界域上的离散NLS也始终可计算，且具有统一的运行时间界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种算法，可在统一的运行时间内以 $ \epsilon $-精度计算无界域上线性薛定谔方程的解？
• RQ2 能否判定聚焦立方或五次NLS的解是否会在有限时间内爆破，且该判断能否通过数值方法验证？
• RQ3 在何种初始数据和势能条件下，可将 $ \mathbb{R}^d $ 上的初值问题约化为具有保证 $ \epsilon $-精度的有界域问题？
• RQ4 在初始状态和势能的弱假设下，能否以统一的运行时间界限计算非聚焦NLS的解？
• RQ5 无界域上的离散NLS方程的解是否始终可计算，且具有统一的运行时间界限，无论其为聚焦或非聚焦？

主要发现

• 即使在初始数据满足光滑性和可计算性假设的前提下，也不存在算法可用于计算无界域上大量线性和非线性薛定谔方程的解。
• 无法通过数值方法判定聚焦NLS的解是否爆破或全局存在；该问题本质上是不可判定的。
• 对于非聚焦NLS，在初始状态和势能的弱假设下，其解可计算且具有统一的运行时间界限。
• 无界域上的离散NLS解始终可计算，且具有统一的运行时间界限，无论其为聚焦或非聚焦。
• 本文基于SCI层级建立了可计算薛定谔方程的完整分类理论，揭示了某些令人惊讶的情况：即使在范数爆破时，解仍可计算。
• 作者提供了构造性算法，这些算法高效且可实现，通过递归计算截断半径 $ R $，将无界问题约化为有界问题。