[论文解读] Computing submatrices of the Hermite normal form of a structured polynomial matrix

Jérémy Berthomieu, Vincent Neiger+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2026

Polynomial and algebraic computation被引用 0

一句话总结

论文提出一种基于评估-插值的算法，用于在结构化多项式矩阵具有小离散秩时，计算 Hermite 标准形的Leading主子矩阵，使用随机化方法实现高效复杂度。

ABSTRACT

Following several decades of successive algorithmic improvements, works from the 2010s have showed how to compute the Hermite normal form (HNF) of a univariate polynomial matrix within a complexity bound which is essentially that of polynomial matrix multiplication. Recently, several results on bivariate polynomials and Gröbner bases have highlighted the interest of computing determinants or HNFs of polynomial matrices that happen to be structured, with a small displacement rank. In such contexts, a small leading principal submatrix of the HNF often contains all the sought information. In this article, we show how the displacement structure can be exploited in order to accelerate the computation of such submatrices. To achieve this, we rely on structured linear algebra over the field thanks to evaluation-interpolation. This allows us to recover some rows of the inverse of the input matrix, from which we deduce the sought HNF submatrix via bases of relations.

研究动机与目标

• 在输入矩阵具有结构化位移且前导子矩阵较小时，推动 HNF 子矩阵的快速计算。
• 利用评估-插值在域上利用结构，恢复逆行以形成关系基。
• 给出依赖于位移秩、子矩阵大小以及 M 的度及其行列式的复杂度界。
• 将思路扩展到如双变量 Gröbner 基计算中的单项式顺序变换等应用。

提出的方法

• 用位移生成器 (S,T) 表示结构化多项式矩阵，满足 Z0 M − M Z1^T = ST^T。
• 在一组不同域元素的评估点上使用评估-插值，将问题简化为点 a_i 处的小秩结构逆运算。
• 在每个评估点使用现有的结构化线代方法进行快速逆运算（Las Vegas 随机化）。
• 将点态逆合并并通过插值得到 Hermite 标准形的前 m×m 子矩阵。
• 给出成本界，依赖于离散秩 α、矩阵规模 n、子矩阵规模 m，以及度参数 D、Δ 和 d。
• 利用关系基和 HNFRelBas 计算与矩阵行秩相关的模的基。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何高效地提取结构化多项式矩阵的 Hermite 标准形的 leading 主子矩阵？
• RQ2 离散秩在加速 HNF 子矩阵计算中扮演怎样的角色？
• RQ3 评估-插值结合结构化线性代数能否在这些子问题上实现子二次或接近矩阵乘法的复杂度？
• RQ4 该方法如何适应单项式顺序的改变，例如从 DRL 基导出 Lexicographic Gröbner 基？

主要发现

• 算法 HermiteFormSubmatrix 使用离散生成器和评估-插值计算不可约矩阵 M 的 HNF 的 leading m×m 子矩阵。
• 该方法在 H_col 和/或 H_row 泛化性假设成立时给出不同的成本界；当 D = deg(det(M)) 时达到最优。
• 若两者 H_col、H_row 同时成立，成本降至离散感知界；若仅有一者成立，则适用相应的中间界。
• 该方法扩展为通过 HNF 基子矩阵提取从 DRL 基到 Lexicographic Gröbner 基的计算（定理 1.2）。
• 该算法是 Las Vegas 随机化的，并在评估点使用结构化右逆来通过关系基组装 HNF 子矩阵。